A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
[8:10]
[8:10]
Passo 1
O enunciado pede: determinar a raiz (zero) da função
no intervalo
usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância
.
Informações dadas e identificadas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
e . - Tolerância:
. - Valor de
nos extremos (calculei avaliando a função em radianos): -
(positivo). -
(negativo).
-
Observação importante (apenas listar): como
e
têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em
.
A resolução numérica começa no Passo 2.
A resolução numérica começa no Passo 2.
Passo 2
Explicando o método (didático e passo a passo, sem pular etapas).
- Fórmula básica da posição falsa (regula falsi): dado um intervalo
com , a aproximação por interpolação linear (ponto onde a reta que liga e corta o eixo ) é
ou, equivalentemente,
Aqui:
-
e são os extremos do intervalo atual; -
e são os valores da função nesses extremos; -
é a nova aproximação da raiz.
- Por que usar a versão “modificada” (Illinois) da posição falsa?
A posição falsa clássica pode estacionar: um dos extremos permanece fixo por muitas iterações e a convergência fica muito lenta. A modificação resolve isso multiplicando poro valor da função do extremo que não mudou sinal (ou seja, do extremo “que ficou preso”) logo depois de uma iteração, forçando a interpolação a deslocar mais o ponto nas próximas iterações. A regra que vou usar (variante conhecida como Illinois) é:
- Calcular
pela fórmula acima. - Avaliar
. - Se
então a raiz está em . Atualiza-se e aplica-se a modificação dividindo por o valor (ou seja, substitui-se por para a próxima interpolação). - Caso contrário (
), a raiz está em . Atualiza-se e divide-se por .
- Critério de parada (escolha e justificativa): vou parar quando
. Justificativa: para esta função contínua e bem comportada, fazer pequeno garante que está perto da raiz; é um critério direto e coerente com o pedido .
Agora aplico o método numericamente passo a passo, mostrando as contas e decisões.
Passo 3
Iteração 1:
-
, . -
, . - Calcular
- Avaliar
:
- Decisão:
(positivo × negativo), logo a raiz está em . Atualiza-se: -
. - Aplica-se a modificação:
.
(ou seja, para a próxima interpolação usamos o novo valor halved em.)
-
Passo 4
Iteração 2:
- Agora
com (já dividida), com . - Calcular
- Avaliar
:
- Decisão:
(ambos positivos), então a raiz está em . Atualiza-se: -
. - Aplica-se a modificação:
.
-
Passo 5
Iteração 3:
-
com , com . - Calcular
- Avaliar
:
- Decisão:
(positivo × negativo), então a raiz está em . Atualiza-se: -
. - Modificação:
.
-
Passo 6
Iteração 4:
-
com , com . - Calcular
- Avaliar
:
- Decisão:
. Atualiza-se: -
. - Modificação:
.
-
Passo 7
Iteração 5:
-
com , com . - Calcular
- Avaliar
:
- Decisão:
. Atualiza-se: -
. - Modificação:
.
-
Passo 8
Iteração 6:
-
com , com . - Calcular
- Avaliar
:
- Decisão:
. Atualiza-se: -
. - Modificação:
.
-
Passo 9
Iteração 7:
-
com , com . - Calcular
- Avaliar
:
- Como
, ainda não atingimos a tolerância. Atualização: -
. - Modificação:
.
-
Passo 10
Iteração 8 (convergência):
-
com , com . - Calcular
- Avaliar
: usando as funções trigonométricas,
ou seja
.
Portanto a condição de parada
foi satisfeita na iteração 8.
Comentário rápido e motivador: deu trabalho, eu sei — mas a ideia é sempre calcular a interpolação, verificar o sinal e, quando um lado fica “preso”, dividir o seu valor por 2 para forçar movimento. Repetindo isso algumas vezes chegamos rapidinho perto da raiz real.