A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[8:10]

Passo 1

O enunciado pede: determinar a raiz (zero) da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos(\mathrm{x}) no intervalo [8,10] usando o método da posição falsa modificada (FPM), com tolerância \varepsilon = 0{,}002.
Informações dadas e identificadas:
  • Função: \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos(\mathrm{x}).
  • Intervalo inicial: a_0=8 e b_0=10.
  • Tolerância: \varepsilon=0{,}002.
  • Valor de \mathrm{f} nos extremos (calculei avaliando a função em radianos):
    • \mathrm{f}(8)=\operatorname{sen}(8)+\cos(8)\approx 0{,}843858 (positivo).
    • \mathrm{f}(10)=\operatorname{sen}(10)+\cos(10)\approx -1{,}383093 (negativo).
Observação importante (apenas listar): como \mathrm{f}(8) e \mathrm{f}(10) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em [8,10].
A resolução numérica começa no Passo 2.

Passo 2

Explicando o método (didático e passo a passo, sem pular etapas).
  1. Fórmula básica da posição falsa (regula falsi): dado um intervalo [a,b] com \mathrm{f}(a)\,\mathrm{f}(b)<0, a aproximação por interpolação linear (ponto onde a reta que liga (a,\mathrm{f}(a)) e (b,\mathrm{f}(b)) corta o eixo x) é
c \;=\; \frac{b\,\mathrm{f}(a)-a\,\mathrm{f}(b)}{\mathrm{f}(a)-\mathrm{f}(b)}
ou, equivalentemente,
c \;=\; a - \mathrm{f}(a)\,\frac{b-a}{\mathrm{f}(b)-\mathrm{f}(a)}.
Aqui:
  • a e b são os extremos do intervalo atual;
  • \mathrm{f}(a) e \mathrm{f}(b) são os valores da função nesses extremos;
  • c é a nova aproximação da raiz.
  1. Por que usar a versão “modificada” (Illinois) da posição falsa?
    A posição falsa clássica pode estacionar: um dos extremos permanece fixo por muitas iterações e a convergência fica muito lenta. A modificação resolve isso multiplicando por 1/2 o valor da função do extremo que não mudou sinal (ou seja, do extremo “que ficou preso”) logo depois de uma iteração, forçando a interpolação a deslocar mais o ponto c nas próximas iterações. A regra que vou usar (variante conhecida como Illinois) é:
  • Calcular c pela fórmula acima.
  • Avaliar \mathrm{f}\text{(c)}.
  • Se \mathrm{f}(a)\,\mathrm{f}\text{(c)}<0 então a raiz está em [a,c]. Atualiza-se b\leftarrow c e aplica-se a modificação dividindo por 2 o valor \mathrm{f}(a) (ou seja, substitui-se \mathrm{f}(a) por \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(a) para a próxima interpolação).
  • Caso contrário ( \mathrm{f}(b)\,\mathrm{f}\text{(c)}<0), a raiz está em [c,b]. Atualiza-se a\leftarrow c e divide-se \mathrm{f}(b) por 2.
  1. Critério de parada (escolha e justificativa): vou parar quando |\mathrm{f}\text{(c)}|<\varepsilon. Justificativa: para esta função contínua e bem comportada, fazer |\mathrm{f}\text{(c)}| pequeno garante que c está perto da raiz; é um critério direto e coerente com o pedido \varepsilon=0{,}002.
Agora aplico o método numericamente passo a passo, mostrando as contas e decisões.

Passo 3

Iteração 1:
  • a=8, b=10.
  • \mathrm{f}(a)\approx 0{,}8438582128, \mathrm{f}(b)\approx -1{,}3830926399.
  • Calcular
c_1 = \frac{b\,\mathrm{f}(a)-a\,\mathrm{f}(b)}{\mathrm{f}(a)-\mathrm{f}(b)} \approx 8{,}757864929.
  • Avaliar \mathrm{f}(c_1):
\mathrm{f}(c_1)=\operatorname{sen}(8{,}757864929)+\cos(8{,}757864929)\approx -0{,}166968.
  • Decisão: \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}(c_1)<0 (positivo × negativo), logo a raiz está em [a,c_1]. Atualiza-se:
    • b\leftarrow c_1=8{,}757864929.
    • Aplica-se a modificação: \mathrm{f}(a)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(a)\approx 0{,}4219291064.
      (ou seja, para a próxima interpolação usamos o novo valor halved em a.)

Passo 4

Iteração 2:
  • Agora a=8 com \mathrm{f}(a)\approx 0{,}4219291064 (já dividida), b=8{,}757864929 com \mathrm{f}(b)\approx -0{,}166968.
  • Calcular
c_2 = \frac{b\,\mathrm{f}(a)-a\,\mathrm{f}(b)}{\mathrm{f}(a)-\mathrm{f}(b)} \approx 8{,}543280\quad(\text{aprox.}).
  • Avaliar \mathrm{f}(c_2):
\mathrm{f}(c_2)\approx 0{,}1350\\ (\text{positivo}).
  • Decisão: \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}(c_2)>0 (ambos positivos), então a raiz está em [c_2,b]. Atualiza-se:
    • a\leftarrow c_2\approx 8{,}543280.
    • Aplica-se a modificação: \mathrm{f}(b)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(b)\approx -0{,}083484.

Passo 5

Iteração 3:
  • a\approx 8{,}543280 com \mathrm{f}(a)\approx 0{,}1350, b\approx 8{,}757865 com \mathrm{f}(b)\approx -0{,}083484.
  • Calcular
c_3 \approx 8{,}67148.
  • Avaliar \mathrm{f}(c_3):
\mathrm{f}(c_3)\approx -0{,}0450\\ (\text{negativo}).
  • Decisão: \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}(c_3)<0 (positivo × negativo), então a raiz está em [a,c_3]. Atualiza-se:
    • b\leftarrow c_3\approx 8{,}67148.
    • Modificação: \mathrm{f}(a)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(a)\approx 0{,}0675.

Passo 6

Iteração 4:
  • a\approx 8{,}543280 com \mathrm{f}(a)\approx 0{,}0675, b\approx 8{,}67148 com \mathrm{f}(b)\approx -0{,}0450.
  • Calcular
c_4 \approx 8{,}62024.
  • Avaliar \mathrm{f}(c_4):
\mathrm{f}(c_4)\approx 0{,}0328\\ (\text{positivo}).
  • Decisão: \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}(c_4)>0. Atualiza-se:
    • a\leftarrow c_4\approx 8{,}62024.
    • Modificação: \mathrm{f}(b)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(b)\approx -0{,}0225.

Passo 7

Iteração 5:
  • a\approx 8{,}62024 com \mathrm{f}(a)\approx 0{,}0328, b\approx 8{,}67148 com \mathrm{f}(b)\approx -0{,}0225.
  • Calcular
c_5 \approx 8{,}65064.
  • Avaliar \mathrm{f}(c_5):
\mathrm{f}(c_5)\approx -0{,}0157\\ (\text{negativo}).
  • Decisão: \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}(c_5)<0. Atualiza-se:
    • b\leftarrow c_5\approx 8{,}65064.
    • Modificação: \mathrm{f}(a)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(a)\approx 0{,}0164.

Passo 8

Iteração 6:
  • a\approx 8{,}62024 com \mathrm{f}(a)\approx 0{,}0164, b\approx 8{,}65064 com \mathrm{f}(b)\approx -0{,}0157.
  • Calcular
c_6 \approx 8{,}63574.
  • Avaliar \mathrm{f}(c_6):
\mathrm{f}(c_6)\approx 0{,}0066\\ (\text{positivo}).
  • Decisão: \mathrm{f}(a)\cdot\mathrm{f}(c_6)>0. Atualiza-se:
    • a\leftarrow c_6\approx 8{,}63574.
    • Modificação: \mathrm{f}(b)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(b)\approx -0{,}00785.

Passo 9

Iteração 7:
  • a\approx 8{,}63574 com \mathrm{f}(a)\approx 0{,}0066, b\approx 8{,}65064 com \mathrm{f}(b)\approx -0{,}00785.
  • Calcular
c_7 \approx 8{,}642546.
  • Avaliar \mathrm{f}(c_7):
\mathrm{f}(c_7)\approx -0{,}0026\\ (\text{negativo},\\ \text{magnitude ligeiramente maior que }0{,}002).
  • Como |\mathrm{f}(c_7)|>0{,}002, ainda não atingimos a tolerância. Atualização:
    • b\leftarrow c_7\approx 8{,}642546.
    • Modificação: \mathrm{f}(a)\leftarrow \tfrac{1}{2}\mathrm{f}(a)\approx 0{,}0033.

Passo 10

Iteração 8 (convergência):
  • a\approx 8{,}63574 com \mathrm{f}(a)\approx 0{,}0033, b\approx 8{,}642546 com \mathrm{f}(b)\approx -0{,}0026.
  • Calcular
c_8 \approx 8{,}639543.
  • Avaliar \mathrm{f}(c_8): usando as funções trigonométricas,
\mathrm{f}(c_8)=\operatorname{sen}(8{,}639543)+\cos(8{,}639543)\approx -0{,}00023,
ou seja |\mathrm{f}(c_8)|\approx 0{,}00023 < 0{,}002.
Portanto a condição de parada |\mathrm{f}\text{(c)}|<\varepsilon foi satisfeita na iteração 8.
Comentário rápido e motivador: deu trabalho, eu sei — mas a ideia é sempre calcular a interpolação, verificar o sinal e, quando um lado fica “preso”, dividir o seu valor por 2 para forçar movimento. Repetindo isso algumas vezes chegamos rapidinho perto da raiz real.

Resposta

x \approx 8{,}639543

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