A função
é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo
:
[70:74]
[70:74]
Passo 1
O enunciado dá:
- A função é
. - O intervalo é
(todos os valores em radianos). - A tolerância é
.
O que se pede: determinar um zero (uma raiz) de
dentro do intervalo dado usando o método da posição falsa modificada (FPM), interrompendo quando a diferença entre duas aproximações sucessivas de
for menor que
.
Informações relevantes que usarei (pegas do enunciado):
, intervalo
,
.
Passo 2
Breve aula sobre o método pedido (FPM / “regula falsi modificada”, variante Illinois) — ideia e fórmula:
- A ideia do método da posição falsa é aproximar a raiz de
por uma interseção de uma reta secante com o eixo . Dados extremos e com e de sinais opostos, a aproximação é
- No método “modificado” (Illinois) evita-se que um dos extremos fique fixo por muitas iterações multiplicando por
o valor da função no extremo que acaba sendo substituído sucessivas vezes. Uma descrição operacional que vou usar (padrão Illinois): - Calcular
com a fórmula acima. - Se
, então a raiz está em ; atualizar e . Não se altera . - Se
, então a raiz está em ; atualizar e definir, para o cálculo da próxima secante, (a metade do valor) — é a “modificação” que acelera a convergência. - Continuar iterando até
(critério que escolhi para parar; é um critério comum e compatível com o enunciado).
- Calcular
Explicação rápida do porquê da metade: quando o mesmo extremo é substituído repetidamente, a secante tende a se aproximar do extremo fixo e a convergência fica lenta; reduzir o valor da função nesse extremo força a secante a deslocar-se mais para o interior do intervalo.
Passo 3
Simplificação útil da função para calcular
de forma mais direta:
Isto facilita avaliar o sinal e o valor de
porque basta avaliar
e multiplicar por
(onde
).
Observação teórica rápida (ajuda a saber que há exatamente uma raiz no intervalo): as raízes de
satisfazem
, isto é
Para localizar a
que cai em
podemos estimar
logo
dá
isso confirma que existe uma raiz dentro do intervalo e nos dá um valor de referência para comparar as iterações numéricas.
Passo 4
Preparação numérica (constantes usadas):
Vou iterar a partir de
e
. Para avaliar
em um
grande, uso a identidade da Passo 3 e reduzo o argumento subtraindo múltiplos inteiros apropriados de
(ou de
quando conveniente) para obter um ângulo pequeno cujo seno pode ser aproximado com série ou aproximações conhecidas.
Calcularei e apresentarei em cada iteração:
,
,
(valor real, não modificado),
, a aproximação
, e
. Quando necessário para a interpolação uso o valor modificado
conforme a regra Illinois.
Passo 5
Dados iniciais:
Avaliações:
Sinais opostos (boa condição).
Cálculo da secante:
Numericamente:
Avaliação:
Como
(negativo
positivo), atualizo
. Não modifico
.
Resumo após iteração 1:
Passo 6
Calcular nova secante com
e
:
Numérico:
Avaliação:
Agora
(mesmo sinal). Pela regra Illinois, atualizo
e, para a próxima interpolação, uso o valor modificado
Mas mantenho registro do valor real
para testes de sinal quando for necessário.
Resumo:
Passo 7
Interpolação com
e
:
Cálculo:
Avaliação:
Sinal de
é negativo. Como o extremo
também tinha
, os sinais são iguais. Logo, atualizo
e aplico a modificação:
E mantenho
,
.
Passo 8
Usando
e
:
Cálculo:
Avaliação:
Ainda negativo. Atualizo
e
.
permanece.
Passo 9
Com
e
:
Cálculo:
Avaliação:
Diferença
. Continuo. Atualizo
e
.
Passo 10
Com
e
:
Cálculo:
Avaliação:
Diferença
. Atualizo
e
.
Passo 11
Com
e
:
Cálculo:
Avaliação final:
Diferença entre as duas últimas aproximações:
Portanto o critério de parada foi satisfeito.