A função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen}(\mathrm{x})+\cos (\mathrm{x}) é classificada como uma função contínua, seu resultado é dado em radianos. Determine o zero da função usando método da posição falsa modificada (FPM) dos seguintes intervalos, sabendo \varepsilon=0,002 :
[70:74]

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função é f(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x).
  • O intervalo é [70,74] (todos os valores em radianos).
  • A tolerância é \varepsilon=0,002.
O que se pede: determinar um zero (uma raiz) de f dentro do intervalo dado usando o método da posição falsa modificada (FPM), interrompendo quando a diferença entre duas aproximações sucessivas de x for menor que \varepsilon.
Informações relevantes que usarei (pegas do enunciado): f(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x), intervalo [70,74], \varepsilon=0,002.

Passo 2

Breve aula sobre o método pedido (FPM / “regula falsi modificada”, variante Illinois) — ideia e fórmula:
  • A ideia do método da posição falsa é aproximar a raiz de f por uma interseção de uma reta secante com o eixo x. Dados extremos a e b com f(a) e f(b) de sinais opostos, a aproximação x_r é
x_r = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
  • No método “modificado” (Illinois) evita-se que um dos extremos fique fixo por muitas iterações multiplicando por \tfrac{1}{2} o valor da função no extremo que acaba sendo substituído sucessivas vezes. Uma descrição operacional que vou usar (padrão Illinois):
    • Calcular x_r com a fórmula acima.
    • Se f(a)\,f(x_r)<0, então a raiz está em (a,x_r); atualizar b\leftarrow x_r e f(b)\leftarrow f(x_r). Não se altera f(a).
    • Se f(b)\,f(x_r)<0, então a raiz está em (x_r,b); atualizar a\leftarrow x_r e definir, para o cálculo da próxima secante, f(a)\leftarrow \dfrac{f(x_r)}{2} (a metade do valor) — é a “modificação” que acelera a convergência.
    • Continuar iterando até |x_{r}^{(k)}-x_{r}^{(k-1)}|<\varepsilon (critério que escolhi para parar; é um critério comum e compatível com o enunciado).
Explicação rápida do porquê da metade: quando o mesmo extremo é substituído repetidamente, a secante tende a se aproximar do extremo fixo e a convergência fica lenta; reduzir o valor da função nesse extremo força a secante a deslocar-se mais para o interior do intervalo.

Passo 3

Simplificação útil da função para calcular f(x) de forma mais direta:
f(x)=\operatorname{sen}(x)+\cos(x)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Isto facilita avaliar o sinal e o valor de f(x) porque basta avaliar \operatorname{sen}(x+\tfrac{\pi}{4}) e multiplicar por \sqrt{2} (onde \sqrt{2}\approx 1,41421356).
Observação teórica rápida (ajuda a saber que há exatamente uma raiz no intervalo): as raízes de f satisfazem \operatorname{sen}(x+\tfrac{\pi}{4})=0, isto é
x = n\pi - \tfrac{\pi}{4},\qquad n\in\mathbb{Z}.
Para localizar a n que cai em [70,74] podemos estimar
n\approx\frac{70+\tfrac{\pi}{4}}{\pi}\approx 22{,}53,
logo n=23
x=23\pi-\tfrac{\pi}{4}\approx 71{,}471232869\dots
isso confirma que existe uma raiz dentro do intervalo e nos dá um valor de referência para comparar as iterações numéricas.

Passo 4

Preparação numérica (constantes usadas):
\pi\approx 3,141592654,\qquad 23\pi\approx 72,256631033,\qquad \sqrt{2}\approx 1,41421356.
Vou iterar a partir de a_0=70 e b_0=74. Para avaliar f(x) em um x grande, uso a identidade da Passo 3 e reduzo o argumento subtraindo múltiplos inteiros apropriados de \pi (ou de 23\pi quando conveniente) para obter um ângulo pequeno cujo seno pode ser aproximado com série ou aproximações conhecidas.
Calcularei e apresentarei em cada iteração: a, b, f(a) (valor real, não modificado), f(b), a aproximação x_r, e f(x_r). Quando necessário para a interpolação uso o valor modificado f(a)\leftarrow f(x_r)/2 conforme a regra Illinois.

Passo 5

Dados iniciais:
a_0=70,\quad b_0=74.
Avaliações:
f(70)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(70+\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(70{,}785398163) \approx 1{,}41421356\cdot(-0{,}995046)\approx -1{,}4070.
f(74)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(74+\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(74{,}785398163) \approx 1{,}41421356\cdot 0{,}574919\approx 0{,}8126.
Sinais opostos (boa condição).
Cálculo da secante:
x_{r1}=74 - f(74)\frac{74-70}{f(74)-f(70)} =74 - 0{,}8126\frac{4}{0{,}8126-(-1{,}4070)}.
Numericamente:
\frac{0{,}8126\cdot 4}{2{,}2196}\approx \frac{3{,}2504}{2{,}2196}\approx 1{,}4640,
x_{r1}\approx 74-1{,}4640=72{,}5360.
Avaliação:
f(72{,}5360)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(72{,}5360+\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(73{,}321398163) \approx 1{,}41421356\cdot 0{,}87494\approx 1{,}2370.
Como f(a_0)\cdot f(x_{r1})<0 (negativo \timespositivo), atualizo b_1=x_{r1}. Não modifico f(a).
Resumo após iteração 1:
a_1=70,\quad f(a_1)\approx -1{,}4070;\qquad b_1=72{,}5360,\quad f(b_1)\approx 1{,}2370.

Passo 6

Calcular nova secante com a_1 e b_1:
x_{r2}=b_1 - f(b_1)\frac{b_1-a_1}{f(b_1)-f(a_1)} =72{,}5360 - 1{,}2370\frac{2{,}5360}{1{,}2370-(-1{,}4070)}.
Numérico:
\frac{1{,}2370\cdot 2{,}5360}{2{,}6440}\approx \frac{3{,}1373}{2{,}6440}\approx 1{,}1867,
x_{r2}\approx 72{,}5360 - 1{,}1867 = 71{,}3493.
Avaliação:
f(71{,}3493)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!\bigl(71{,}3493+\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(72{,}134698163) \approx 1{,}41421356\cdot(-0{,}12166)\approx -0{,}1720.
Agora f(a_1)\cdot f(x_{r2})\approx (-1{,}4070)\cdot(-0{,}1720)>0 (mesmo sinal). Pela regra Illinois, atualizo a_2=x_{r2} e, para a próxima interpolação, uso o valor modificado
f(a_2)\leftarrow \frac{f(x_{r2})}{2}\approx \frac{-0{,}1720}{2}=-0{,}0860.
Mas mantenho registro do valor real f(a_2)_{\text{real}}=-0{,}1720 para testes de sinal quando for necessário.
Resumo:
a_2=71{,}3493,\quad f(a_2)_{\text{real}}\approx -0{,}1720,\quad f(a_2)_{\text{mod}}\approx -0{,}0860;
b_2=72{,}5360,\quad f(b_2)\approx 1{,}2370.

Passo 7

Interpolação com f(a_2)_{\text{mod}}=-0{,}0860 e f(b_2)=1{,}2370:
x_{r3}=72{,}5360 - 1{,}2370\frac{72{,}5360-71{,}3493}{1{,}2370-(-0{,}0860)}.
Cálculo:
b-a=1{,}1867,\quad \frac{1{,}2370\cdot 1{,}1867}{1{,}3230}\approx \frac{1{,}4673}{1{,}3230}\approx 1{,}1090,
x_{r3}\approx 72{,}5360 - 1{,}1090 = 71{,}4270.
Avaliação:
f(71{,}4270)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(71{,}4270+\tfrac{\pi}{4}) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(72{,}212398163) \approx 1{,}41421356\cdot(-0{,}04422)\approx -0{,}0626.
Sinal de f(71{,}4270) é negativo. Como o extremo a_2 também tinha f(a_2)_{\text{real}}<0, os sinais são iguais. Logo, atualizo a_3=x_{r3} e aplico a modificação:
f(a_3)_{\text{mod}}=\frac{f(x_{r3})}{2}\approx \frac{-0{,}0626}{2}=-0{,}0313.
E mantenho b_3=72{,}5360, f(b_3)\approx 1{,}2370.

Passo 8

Usando f(a_3)_{\text{mod}}=-0{,}0313 e f(b_3)=1{,}2370:
x_{r4}=72{,}5360 - 1{,}2370\frac{72{,}5360-71{,}4270}{1{,}2370-(-0{,}0313)}.
Cálculo:
b-a=1{,}1090,\quad \frac{1{,}2370\cdot 1{,}1090}{1{,}2683}\approx \frac{1{,}3713}{1{,}2683}\approx 1{,}0807,
x_{r4}\approx 72{,}5360-1{,}0807=71{,}4553.
Avaliação:
f(71{,}4553)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(71{,}4553+\tfrac{\pi}{4}) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(72{,}240698163) \approx 1{,}41421356\cdot(-0{,}01593)\approx -0{,}02253.
Ainda negativo. Atualizo a_4=x_{r4} e f(a_4)_{\text{mod}}=\tfrac{f(x_{r4})}{2}\approx -0{,}01127. b_4 permanece.

Passo 9

Com f(a_4)_{\text{mod}}=-0{,}01127 e f(b)=1{,}2370:
x_{r5}=72{,}5360 - 1{,}2370\frac{72{,}5360-71{,}4553}{1{,}2370-(-0{,}01127)}.
Cálculo:
b-a=1{,}0807,\quad \frac{1{,}2370\cdot 1{,}0807}{1{,}24827}\approx \frac{1{,}3376}{1{,}24827}\approx 1{,}0714,
x_{r5}\approx 72{,}5360-1{,}0714=71{,}4646.
Avaliação:
f(71{,}4646)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(71{,}4646+\tfrac{\pi}{4}) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(72{,}249992163) \approx 1{,}41421356\cdot(-0{,}006639)\approx -0{,}009394.
Diferença |x_{r5}-x_{r4}|\approx |71{,}4646-71{,}4553|=0{,}0093>\varepsilon. Continuo. Atualizo a_5=x_{r5} e f(a_5)_{\text{mod}}=\tfrac{-0{,}009394}{2}=-0{,}004697.

Passo 10

Com f(a_5)_{\text{mod}}=-0{,}004697 e f(b)=1{,}2370:
x_{r6}=72{,}5360 - 1{,}2370\frac{72{,}5360-71{,}4646}{1{,}2370-(-0{,}004697)}.
Cálculo:
b-a=1{,}0714,\quad \frac{1{,}2370\cdot 1{,}0714}{1{,}241697}\approx \frac{1{,}3254}{1{,}241697}\approx 1{,}0673,
x_{r6}\approx 72{,}5360-1{,}0673=71{,}4687.
Avaliação:
f(71{,}4687)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(71{,}4687+\tfrac{\pi}{4}) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(72{,}254088163) \approx 1{,}41421356\cdot(-0{,}0025709)\approx -0{,}003636.
Diferença |x_{r6}-x_{r5}|\approx 0{,}0041>\varepsilon. Atualizo a_6=x_{r6} e f(a_6)_{\text{mod}}=\tfrac{-0{,}003636}{2}=-0{,}001818.

Passo 11

Com f(a_6)_{\text{mod}}=-0{,}001818 e f(b)=1{,}2370:
x_{r7}=72{,}5360 - 1{,}2370\frac{72{,}5360-71{,}4687}{1{,}2370-(-0{,}001818)}.
Cálculo:
b-a=1{,}0673,\quad \frac{1{,}2370\cdot 1{,}0673}{1{,}238818}\approx \frac{1{,}3204}{1{,}238818}\approx 1{,}0658,
x_{r7}\approx 72{,}5360-1{,}0658=71{,}4702.
Avaliação final:
f(71{,}4702)=\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(71{,}4702+\tfrac{\pi}{4}) =\sqrt{2}\,\operatorname{sen}\!(72{,}255600163) \approx 1{,}41421356\cdot(-0{,}0010309)\approx -0{,}001457.
Diferença entre as duas últimas aproximações:
|x_{r7}-x_{r6}|\approx |71{,}4702-71{,}4687|=0{,}0015<\varepsilon=0{,}002.
Portanto o critério de parada foi satisfeito.

Resposta

x\approx 71{,}4702

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