A função
assume o valor -4 em um ponto
. Usando o Método de Newton e o método de Horner para avaliar
e
, aproxime
.
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos a função
e sabemos que ela vale
num ponto real
, ou seja
Isso equivale a achar raiz de
Conteúdo usado: Método de Newton para achar raízes e Método de Horner para avaliar polinômio e sua derivada de forma rápida.
Passo 2
Como o Newton é dado por
precisamos de
e
. Aqui
O Horner serve pra calcular
e
sem ficar pra lá e pra cá:
para fazemos
para
b3 = a3
b2 = b3*x + a2
b1 = b2*x + a1
b0 = b1*x + a0 ← este é Q(x)
E análogo pra derivada, com coefficients de
.
Passo 3
Precisamos de um chute inicial
. Vendo
e
, já suspeitamos raiz em
. Mas vamos começar em, digamos,
Passo 4
Iteração 1 em
:
- Avaliar
por Horner com coeficientes :
b3=1;
b2=11,5 + (−2)=−0,5;
b1=−0,51,5 + 1=0,25;
b0=0,25*1,5 −2=−1,625 ⇒. - Avaliar
com coeficientes :
d2=3;
d1=31,5 + (−4)=0,5;
d0=0,51,5 +1=1,75 ⇒. - Newton:
Passo 5
Iteração 2 em
:
- Horner em
:
b3=1;
b2=12,4286−2=0,4286;
b1=0,42862,4286+1≈2,041;
b0=2,041*2,4286−2≈3,9586 ⇒. - Horner em
:
d2=3;
d1=32,4286−4≈3,286;
d0=3,2862,4286+1≈8,977 ⇒. - Newton:
Resposta
Após duas iterações já chegamos em
,
que converge rapidinho para o valor exato .
que converge rapidinho para o valor exato