A função p(x)=x^3-2 x^2+x-6 assume o valor -4 em um ponto alpha in R. Usando o Método de Newton e o método de Horner para avaliar p(x) e p^prime(x), aproxime alpha.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos a função
p(x)=x^3-2x^2+x-6
e sabemos que ela vale p(alpha)=-4 num ponto real Q(x)=p(x)+4 = x^3-2x^2+x-2=0, ou seja
Isso equivale a achar raiz de
Conteúdo usado: Método de Newton para achar raízes e Método de Horner para avaliar polinômio e sua derivada de forma rápida.

Passo 2

Como o Newton é dado por
xk+1 = xk - Q(xk)Q'(xk),
precisamos de Q(x)=x^3-2x^2+x-2, Q'(x)=3x^2-4x+1 e . Aqui
O Horner serve pra calcular e sem ficar pra lá e pra cá:
para fazemos
b3 = a3
b2 = b3*x + a2
b1 = b2*x + a1
b0 = b1*x + a0  ← este é Q(x)
E análogo pra derivada, com coefficients de .

Passo 3

Precisamos de um chute inicial x0 = 1,5. Vendo e , já suspeitamos raiz em . Mas vamos começar em, digamos,

Passo 4

Iteração 1 em x1 = 1,5 - -1,6251,75 = 1,5 + 0,9286 approx 2,4286 :
  1. Avaliar por Horner com coeficientes :
    b3=1;
    b2=11,5 + (−2)=−0,5;
    b1=−0,5
    1,5 + 1=0,25;
    b0=0,25*1,5 −2=−1,625 ⇒ .
  2. Avaliar com coeficientes :
    d2=3;
    d1=31,5 + (−4)=0,5;
    d0=0,5
    1,5 +1=1,75 ⇒ .
  3. Newton:

Passo 5

Iteração 2 em x2 = 2,4286 - 3,95868,977 approx 2,4286 - 0,4410 = 1,9876 :
  1. Horner em :
    b3=1;
    b2=12,4286−2=0,4286;
    b1=0,4286
    2,4286+1≈2,041;
    b0=2,041*2,4286−2≈3,9586 ⇒ .
  2. Horner em :
    d2=3;
    d1=32,4286−4≈3,286;
    d0=3,286
    2,4286+1≈8,977 ⇒ .
  3. Newton:

Resposta

Após duas iterações já chegamos em
,
que converge rapidinho para o valor exato .

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