A função f(x) passa pelos pontos registrados na tabela abaixo. Pede-se:
x 0,000 0,100 0,300 0,400
f(x) 1,000 0,761 0,067 -0,376
(a) determine o valor aproximado de f(0,32) usando um polinômio interpolador de Lagrange de grau 2.
(b) usando o interpolador de Lagrange, calcule P_{3}(0,32).
(c) determine o valor de f(0,32), sabendo que a função f(x) é x^{3}-4 x^{2}-2 x+1
(d) calcule E_{1}=f(0,32)-P_{2}(0,32) e E_{2}=f(0,32)-P_{3}(0,32)
(e) comparar os valores de E_{1} e E_{2} calculados no item anterior.
Obs: trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá os valores de f em quatro pontos
\begin{array}{c|cccc} x & 0,000 & 0,100 & 0,300 & 0,400\\hline f(x) & 1,000 & 0,761 & 0,067 & -0,376 \end{array}
e pede:
– (a) P_{2}(0,32), o polinômio de Lagrange de grau 2;
– (b) P_{3}(0,32), o de grau 3;
– (c) o valor exato f(0,32) sabendo que f(x)=x^{3}-4x^{2}-2x+1;
– (d) os erros E_{1}=f(0,32)-P_{2}(0,32) e E_{2}=f(0,32)-P_{3}(0,32);
– (e) comparar E_{1} e E_{2}.
Para (a) escolhemos os três nós mais próximos de 0,32, isto é x_{0}=0,1, x_{1}=0,3, x_{2}=0,4, e aplicamos a fórmula de Lagrange.

Passo 2

Definimos
L_{i}(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{2}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}, \quad P_{2}(x)=\sum_{i=0}^{2}f(x_{i})\,L_{i}(x).
Para x=0,32 e nós 0,1, 0,3, 0,4 obtém-se
L_{0}(0,32)=\frac{(0,32-0,3)(0,32-0,4)}{(0,1-0,3)(0,1-0,4)} =-0{,}026667,
L_{1}(0,32)=\frac{(0,32-0,1)(0,32-0,4)}{(0,3-0,1)(0,3-0,4)} =0{,}8800,
L_{2}(0,32)=\frac{(0,32-0,1)(0,32-0,3)}{(0,4-0,1)(0,4-0,3)} =0{,}146667.
Logo
P_{2}(0,32) =0,761\cdot(-0,026667)+0,067\cdot0,8800+(-0,376)\cdot0,146667 \approx-0{,}0168.

Passo 3

Para o polinômio de grau 3 usamos todos os quatro nós 0,0,1,0,3,0,4. Definimos
P_{3}(x)=\sum_{i=0}^{3}f(x_{i})\,\ell_{i}(x), \quad \ell_{i}(x)=\prod_{\substack{j=0\j\neq i}}^{3}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.
Calculando em x=0,32 encontra-se
\ell_{0}(0,32)=0{,}029333,
\ell_{1}(0,32)=-0{,}085333,
\ell_{2}(0,32)=0{,}938667,
\ell_{3}(0,32)=0{,}117333,
e então
P_{3}(0,32) =1\cdot0,029333+0,761\cdot(-0,085333)+0,067\cdot0,938667+(-0,376)\cdot0,117333 \approx-0{,}0169.

Passo 4

Usando f(x)=x^{3}-4x^{2}-2x+1 em x=0,32:
f(0,32) =(0,32)^{3}-4(0,32)^{2}-2(0,32)+1 =0,032768-0,409600-0,640000+1 =-0,016832\approx-0{,}0168.

Passo 5

Calculamos os erros:
E_{1}=f(0,32)-P_{2}(0,32)\approx -0,016832-(-0,016784)=-0,000048\approx-0{,}0000,
E_{2}=f(0,32)-P_{3}(0,32)\approx -0,016832-(-0,016882)=+0,000050\approx0{,}0001.

Passo 6

Ambos os erros são da ordem de 10^{-5}. Numérica e praticamente E_{1} e E_{2} são iguais, mostrando excelente aproximação pelos dois polinômios.

Resposta

(a) -0,0168
(b) -0,0169
(c) -0,0168
(d) E_{1}\approx-0,0000, E_{2}\approx0,0001
(e) Os dois erros são da mesma ordem de 10^{-5}, praticamente iguais.

Exercícios relacionados