Resolva o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=7 \\\ x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=-8 \\\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+10 x_{3}=6 \end{array}\right.
por Gauss-Seidel, com x^{(0)}=\left(\begin{array}{c}0,7 \\\\ -1,6 \\\\ 0,6\end{array}\right) e \varepsilon=0,05. Compare os resultados obtidos por Gauss-Jacobi.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 10x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7,\\\ x_{1}+5x_{2}+x_{3}=-8,\\\\ 2x_{1}+3x_{2}+10x_{3}=6, \end{cases}
e pede para resolver por Gauss–Seidel usando o palpite inicial
\displaystyle x^{(0)}=(0,7,\,-1,6,\,0,6) e critério
\varepsilon=0,05. Depois comparar com os resultados de Gauss–Jacobi. O conteúdo é métodos iterativos para sistemas lineares, usando norma infinito para checar convergência.

Passo 2

Para Gauss–Seidel isolamos cada incógnita usando os valores mais recentes sempre que disponíveis:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(7-2x_{2}^{(k+1)}-x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{2}^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(-8-x_{1}^{(k+1)}-x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\frac{1}{10}\bigl(6-2x_{1}^{(k+1)}-3x_{2}^{(k+1)}\bigr).
O critério de parada é
\|\Delta^{(k+1)}\|_\infty =\max_{i}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|<\varepsilon.

Passo 3

Aplicando a iteração:
k=0, x^{(0)}=(0,7,\,-1,6,\,0,6).
k =1:
x_{1}^{(1)}=\tfrac{1}{10}(7-2\cdot(-1,6)-0,6)=0,96,\quad x_{2}^{(1)}=\tfrac{1}{5}(-8-0,96-0,6)=-1,912,
x_{3}^{(1)}=\tfrac{1}{10}(6-2\cdot0,96-3\cdot(-1,912))=0,9816.
\Delta^{(1)}=\max\{0,26,0,312,0,3816\}=0,3816>0,05.
k =2:
x_{1}^{(2)}=\tfrac{1}{10}(7-2\cdot(-1,912)-0,9816)=0,98424,\quad x_{2}^{(2)}=\tfrac{1}{5}(-8-0,98424-0,9816)=-1,993168,
x_{3}^{(2)}=\tfrac{1}{10}(6-2\cdot0,98424-3\cdot(-1,993168))=1,0011024.
\Delta^{(2)}=\max\{0,02424,0,081168,0,0195024\}=0,081168>0,05.
k =3:
x_{1}^{(3)}=0,99852336,\quad x_{2}^{(3)}=-1,999925152,\quad x_{3}^{(3)}=1,0002728736,
\Delta^{(3)}=\max\{0,01428336,0,006757152,0,0008295264\}=0,01428336<0,05.
Parou em k=3.

Passo 4

Para Gauss–Jacobi usamos as mesmas fórmulas, mas todas com o índice k:
x_{1}^{(k+1)}=\tfrac{1}{10}\bigl(7-2x_{2}^{(k)}-x_{3}^{(k)}\bigr),\quad x_{2}^{(k+1)}=\tfrac{1}{5}\bigl(-8-x_{1}^{(k)}-x_{3}^{(k)}\bigr),
x_{3}^{(k+1)}=\tfrac{1}{10}\bigl(6-2x_{1}^{(k)}-3x_{2}^{(k)}\bigr),
mesmo critério \|\Delta^{(k+1)}\|_\infty<0,05.

Passo 5

Aplicando Jacobi:
k =0: x^{(0)}=(0,7,-1,6,0,6).
k =1:
x^{(1)}=(0,96,\,-1,86,\,0,94),\quad \Delta^{(1)}=0,34>0,05.
k =2:
x^{(2)}=(0,978,\,-1,98,\,0,966),\quad \Delta^{(2)}=0,12>0,05.
k =3:
x^{(3)}=(0,9994,\,-1,9836,\,0,9984),\quad \Delta^{(3)}=0,0324<0,05.
Parou também em k=3.

Passo 6

Comparando os vetores finais:
Gauss–Seidel em k=3:
\,(0,9985,\,-1,9999,\,1,0003),
Gauss–Jacobi em k=3:
\,(0,9994,\,-1,9836,\,0,9984).
Ambos pararam em 3 iterações, mas Gauss–Seidel ficou mais perto da solução exata (1,-2,1) do que Jacobi, mostrando convergência mais rápida em precisão.

Resposta

Gauss–Seidel: \displaystyle x\approx(0,9985,\,-1,9999,\,1,0003).
Gauss–Jacobi: \displaystyle x\approx(0,9994,\,-1,9836,\,0,9984).
O método de Gauss–Seidel convergiu à mesma rapidez de iterações, porém com maior precisão.

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