Usando interpolação quadrática determine o número aproximado de habitantes de Belo Horizonte em 1975.
Ano 1950 1960 1970 1980
N de habitantes 352.724 683.908 1.235 .030 1.814 .990

Passo 1

O enunciado dá a população de Belo Horizonte em quatro anos: 1950, 1960, 1970 e 1980, e pede a estimativa para 1975 usando interpolação quadrática. O conteúdo necessário é construir o polinômio de grau 2 que passa por três pontos mais próximos de 1975 (por exemplo, 1960, 1970 e 1980) e avaliá-lo em 1975. Vamos usar diferenças divididas de Newton, com uma mudança de variável para simplificar os cálculos.

Passo 2

Escolhemos os pontos
(x_0,y_0)=(1960,\,683908),\quad (x_1,y_1)=(1970,\,1235030),\quad (x_2,y_2)=(1980,\,1814990).
Definimos a variável trazida para o centro em 1970:
t = x - 1970.
Assim obtemos
t_0 = 1960-1970 = -10,\quad y_0=683908,
t_1 = 1970-1970 = 0,\quad y_1=1235030,
t_2 = 1980-1970 = 10,\quad y_2=1814990.

Passo 3

Calculamos a primeira diferença dividida
f[t_0,t_1] =\frac{y_1 - y_0}{t_1 - t_0} =\frac{1235030 - 683908}{0 - (-10)} =\frac{551122}{10} =55112{,}2,
e
f[t_1,t_2] =\frac{y_2 - y_1}{t_2 - t_1} =\frac{1814990 - 1235030}{10 - 0} =\frac{579960}{10} =57996.

Passo 4

Calculamos a segunda diferença dividida
f[t_0,t_1,t_2] =\frac{f[t_1,t_2] - f[t_0,t_1]}{t_2 - t_0} =\frac{57996 - 55112{,}2}{10 - (-10)} =\frac{2883{,}8}{20} =144{,}19.

Passo 5

O polinômio de Newton em t é
P(t)=y_0 + f[t_0,t_1]\,(t - t_0) + f[t_0,t_1,t_2]\,(t - t_0)\,(t - t_1).
Substituindo t_0=-10 e t_1=0:
P(t) =683908 + 55112{,}2\,(t + 10) + 144{,}19\,(t + 10)\,t.
Para estimar a população em 1975 temos x=1975\implies t=1975-1970=5. Logo
P(5) =683908 + 55112{,}2\cdot15 + 144{,}19\cdot15\cdot5.
Calculando:
55112{,}2\cdot15 =826683, \quad 144{,}19\cdot75 =10814{,}25,
P(5)=683908 + 826683 + 10814{,}25 =1521405{,}25.

Resposta

A população aproximada de Belo Horizonte em 1975 é de 1\,521\,405 habitantes.

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