(1,0) Justifique cada passo na sequência de demonstração de
(\mathrm{A} \rightarrow(\mathrm{~B} \vee \mathrm{C})) \wedge \neg \mathrm{B} \wedge \neg \mathrm{C} \rightarrow \neg \mathrm{~A}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a fórmula
(A \rightarrow (\neg B \vee C)) \,\wedge\, \neg B \,\wedge\, \neg C \;\longrightarrow\;\neg A.
Trata-se de lógica proposicional, e usaremos dedução natural com as seguintes regras:
  • eliminação de conjunção ( \land-elim)
  • lei de De Morgan
  • modus tollens
  • introdução de implicação ( \to-intro)

Passo 2

A partir da hipótese
(A \rightarrow (\neg B \vee C)) \wedge \neg B \wedge \neg C
aplicamos \land-elim para obter
A \rightarrow (\neg B \vee C).

Passo 3

Da mesma hipótese, por \land-elim, retiramos
\neg B.

Passo 4

E novamente por \land-elim obtemos
\neg C.

Passo 5

De \neg B e \neg C, pela lei de De Morgan, segue
\neg(\neg B \vee C).

Passo 6

Agora, de
A \rightarrow (\neg B \vee C) \qquad\text{e}\qquad \neg(\neg B \vee C)
aplicamos modus tollens para concluir
\neg A.

Passo 7

Por fim, como obtivemos \neg A partindo da hipótese
(A \rightarrow (\neg B \vee C)) \wedge \neg B \wedge \neg C, usamos introdução de implicação para concluir
(A \rightarrow (\neg B \vee C)) \wedge \neg B \wedge \neg C \;\longrightarrow\;\neg A.

Resposta

(A \rightarrow (\neg B \vee C)) \wedge \neg B \wedge \neg C \;\longrightarrow\;\neg A.

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