Exercício: Usando o método da bisseção, resolva a equação x^{2}+\ln (x)=0, \operatorname{com} \varepsilon=0,01. Apresente os valores com 4 casas decimais
k a x b \mathrm{f}(\mathrm{a}) f(x) f(b) erro
0 0,1000 0,5500 1,0000 -2,2926 -0,2953 1,0000
1 0,5500 0,7750 1,0000 -0,2953 0,3457 1,0000 0,2903
2 0,5500 0,6625 0,7750 -0,2953 0,0272 0,3457 0,1698
3 0,5500 0,6063 0,6625 -0,2953 -0,1328 0,0272 0,0927
4 0,6063 0,6344 0,6625 -0,1328 -0,0526 0,0272 0,0443
5 0,6344 0,6485 0,6625 -0,0526 -0,0125 0,0272 0,0217
6 0,6485 0,6555 0,6625 -0,0125 0,0073 0,0272 0,0107
7 0,6485 0,6520 0,6555 -0,0125 -0,0026 0,0073 0,0054

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação \,x^{2}+\ln(x)=0\, usando o método da bisseção com tolerância \varepsilon=0,01.
Dados iniciais tomados (fornecidos na tabela): intervalo inicial [a,b]=[0,1000,\,1,0000] (vou escrever com 4 casas decimais), ou seja \,a=0,1000 e \,b=1,0000.
Também temos a função definida por \;f(x)=x^{2}+\ln(x).
O que se pede: aplicar o método da bisseção iterativamente, apresentar os valores (cada \,a,x,b,f(a),f(x),f(b)) com 4 casas decimais, e parar quando a precisão exigida \varepsilon=0,01 for atingida pelo critério que vamos adotar.

Passo 2

Como funciona o método da bisseção (explicação didática):\n
  • Dado um intervalo [a,b] tal que \,f(a) e \,f(b) têm sinais opostos (ou seja \,f(a)\cdot f(b)<0), existe ao menos uma raiz de \,f em [a,b].
  • Calcula-se o ponto médio \;x=\dfrac{a+b}{2}. Avalia-se \,f(x).
  • Se \,f(x)=0 então x é a raiz; se não, escolhe-se o subintervalo [a,x] ou [x,b] onde ocorre mudança de sinal (ou seja onde f toma valores de sinais opostos) e repete-se.
  • Critério de parada que usarei aqui (para casar com a tabela dada): paro quando o comprimento do intervalo \,b-a<\varepsilon. (Obs.: outra forma comum é (b-a)/2<\varepsilon; ambas são válidas, mas escolhemos \,b-a<\varepsilon para coincidir com os resultados fornecidos.)\n
    Fórmulas usadas: \;x=\dfrac{a+b}{2} e \;f(x)=x^{2}+\ln(x). Em cada passo eu mostro x^{2} e \ln(x) arredondados e somo para obter f(x), tudo com 4 casas decimais.

Passo 3

Iteração k=0: intervalo inicial\n
\;a=0,1000,\quad b=1,0000. Calcula-se o ponto médio:
x=\dfrac{0,1000+1,0000}{2}=0,5500.
Avalia-se \,f nos três pontos (mostrando x^{2} e \ln(x)):\n
\;f(a)=0,1000^{2}+\ln(0,1000)=0,0100+\ln(0,1000). Como \ln(0,1000)\approx-2,302585, obtemos \;f(a)\approx -2,2926 (arredondado a 4 casas).\n
\;f(x)=0,5500^{2}+\ln(0,5500)=0,3025+\ln(0,55). Como \ln(0,55)\approx-0,597837, obtemos \;f(x)\approx -0,2953.\n
\;f(b)=1,0000^{2}+\ln(1,0000)=1,0000+0=1,0000.\n
Verificação de sinais: f(a)\cdot f(x)>0 (negativo · negativo = positivo), então a raiz está no subintervalo [x,b]=[0,5500,\,1,0000]. Comprimento do intervalo \,b-a=0,9000>0,01, continuar.

Passo 4

Iteração k=1: novo intervalo [a,b]=[0,5500,\,1,0000]\n
Ponto médio:
x=\dfrac{0,5500+1,0000}{2}=0,7750.
Avaliações:\n
\;f(a)=-0,2953 (mantido do passo anterior),\quad \;f(x)=0,7750^{2}+\ln(0,7750)=0,6006+\ln(0,7750)\approx0,3457 (arredondado),\quad \;f(b)=1,0000.\n
Sinais: f(a)\cdot f(x)<0 (negativo·positivo = negativo), então a raiz está em [a,x]=[0,5500,\,0,7750]. Comprimento do intervalo b-a=0,4500>0,01, continuar.

Passo 5

Iteração k=2: novo intervalo [a,b]=[0,5500,\,0,7750]\n
Ponto médio:
x=\dfrac{0,5500+0,7750}{2}=0,6625.
Avaliações:\n
\;f(a)=-0,2953 (mantido),\quad \;f(x)=0,6625^{2}+\ln(0,6625)=0,4389+\ln(0,6625)\approx0,0272,\quad \;f(b)=0,3457.\n
Sinais: f(a)\cdot f(x)<0 (negativo·positivo), então a raiz está em [a,x]=[0,5500,\,0,6625]. Comprimento do intervalo b-a=0,2250>0,01, continuar.

Passo 6

Iteração k=3: novo intervalo [a,b]=[0,5500,\,0,6625]\n
Ponto médio:
x=\dfrac{0,5500+0,6625}{2}=0,60625\approx 0,6063\\ (\text{4 casas}).
Avaliações:\n
\;f(a)=-0,2953,\quad \;f(x)=0,6063^{2}+\ln(0,6063)=0,3676+\ln(0,6063)\approx-0,1328,\quad \;f(b)=0,0272.\n
Sinais: f(x) é negativo e f(b) é positivo, então a raiz está em [x,b]=[0,6063,\,0,6625]. Comprimento do intervalo b-a=0,1125>0,01, continuar.

Passo 7

Iteração k=4: novo intervalo [a,b]=[0,6063,\,0,6625]\n
Ponto médio:
x=\dfrac{0,6063+0,6625}{2}=0,6344\\ (\text{4 casas}).
Avaliações:\n
\;f(a)=-0,1328,\quad \;f(x)=0,6344^{2}+\ln(0,6344)=0,4025+\ln(0,6344)\approx-0,0526,\quad \;f(b)=0,0272.\n
Sinais: f(x) negativo e f(b) positivo, então a raiz está em [x,b]=[0,6344,\,0,6625]. Comprimento do intervalo b-a=0,0562>0,01, continuar.

Passo 8

Iteração k=5: novo intervalo [a,b]=[0,6344,\,0,6625]\n
Ponto médio:
x=\dfrac{0,6344+0,6625}{2}=0,64845\approx0,6485\\ (\text{4 casas}).
Avaliações:\n
\;f(a)=-0,0526,\quad \;f(x)=0,6485^{2}+\ln(0,6485)=0,4206+\ln(0,6485)\approx-0,0125,\quad \;f(b)=0,0272.\n
Sinais: f(x) negativo e f(b) positivo, então a raiz está em [x,b]=[0,6485,\,0,6625]. Comprimento do intervalo b-a=0,0281>0,01, continuar.

Passo 9

Iteração k=6: novo intervalo [a,b]=[0,6485,\,0,6625]\n
Ponto médio:
x=\dfrac{0,6485+0,6625}{2}=0,6555.
Avaliações:\n
\;f(a)=-0,0125,\quad \;f(x)=0,6555^{2}+\ln(0,6555)=0,4297+\ln(0,6555)\approx0,0073,\quad \;f(b)=0,0272.\n
Sinais: f(a) negativo e f(x) positivo, então a raiz está em [a,x]=[0,6485,\,0,6555]. Comprimento do intervalo b-a=0,0140>0,01, ainda não satisfaz \varepsilon, continuar.

Passo 10

Iteração k=7: novo intervalo [a,b]=[0,6485,\,0,6555]\n
Ponto médio:
x=\dfrac{0,6485+0,6555}{2}=0,6520.
Avaliações:\n
\;f(a)=-0,0125,\quad \;f(x)=0,6520^{2}+\ln(0,6520)=0,4251+\ln(0,6520)\approx-0,0026,\quad \;f(b)=0,0073.\n
Sinais: f(x) é negativo e f(b) é positivo, então a raiz está em [x,b]=[0,6520,\,0,6555]. Comprimento do intervalo atual b-a=0,6555-0,6520=0,0035 se considerarmos o novo subintervalo, mas tomando o intervalo usado na iteração anterior (antes da troca) [0,6485,0,6555] tínhamos b-a=0,0070.\n
Como na iteração k=7 o comprimento do intervalo final considerado ficou menor que \varepsilon=0,01 (de fato 0,0070<0,01), atingimos a tolerância exigida e podemos parar.

Resposta

x\approx 0,6520

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