Exercício: Usando o método da bisseção, resolva a equação
,
. Apresente os valores com 4 casas decimais
k
a
x
b
f(x)
f(b)
erro
0
0,1000
0,5500
1,0000
-2,2926
-0,2953
1,0000
1
0,5500
0,7750
1,0000
-0,2953
0,3457
1,0000
0,2903
2
0,5500
0,6625
0,7750
-0,2953
0,0272
0,3457
0,1698
3
0,5500
0,6063
0,6625
-0,2953
-0,1328
0,0272
0,0927
4
0,6063
0,6344
0,6625
-0,1328
-0,0526
0,0272
0,0443
5
0,6344
0,6485
0,6625
-0,0526
-0,0125
0,0272
0,0217
6
0,6485
0,6555
0,6625
-0,0125
0,0073
0,0272
0,0107
7
0,6485
0,6520
0,6555
-0,0125
-0,0026
0,0073
0,0054
| k | a | x | b |
|
f(x) | f(b) | erro |
| 0 | 0,1000 | 0,5500 | 1,0000 | -2,2926 | -0,2953 | 1,0000 | |
| 1 | 0,5500 | 0,7750 | 1,0000 | -0,2953 | 0,3457 | 1,0000 | 0,2903 |
| 2 | 0,5500 | 0,6625 | 0,7750 | -0,2953 | 0,0272 | 0,3457 | 0,1698 |
| 3 | 0,5500 | 0,6063 | 0,6625 | -0,2953 | -0,1328 | 0,0272 | 0,0927 |
| 4 | 0,6063 | 0,6344 | 0,6625 | -0,1328 | -0,0526 | 0,0272 | 0,0443 |
| 5 | 0,6344 | 0,6485 | 0,6625 | -0,0526 | -0,0125 | 0,0272 | 0,0217 |
| 6 | 0,6485 | 0,6555 | 0,6625 | -0,0125 | 0,0073 | 0,0272 | 0,0107 |
| 7 | 0,6485 | 0,6520 | 0,6555 | -0,0125 | -0,0026 | 0,0073 | 0,0054 |
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação
usando o método da bisseção com tolerância
.
Dados iniciais tomados (fornecidos na tabela): intervalo inicial (vou escrever com 4 casas decimais), ou seja
e
.
Também temos a função definida por .
O que se pede: aplicar o método da bisseção iterativamente, apresentar os valores (cada ) com 4 casas decimais, e parar quando a precisão exigida
for atingida pelo critério que vamos adotar.
Dados iniciais tomados (fornecidos na tabela): intervalo inicial
Também temos a função definida por
O que se pede: aplicar o método da bisseção iterativamente, apresentar os valores (cada
Passo 2
Como funciona o método da bisseção (explicação didática):\n
- Dado um intervalo
tal que e têm sinais opostos (ou seja ), existe ao menos uma raiz de em . - Calcula-se o ponto médio
. Avalia-se . - Se
então é a raiz; se não, escolhe-se o subintervalo ou onde ocorre mudança de sinal (ou seja onde toma valores de sinais opostos) e repete-se. - Critério de parada que usarei aqui (para casar com a tabela dada): paro quando o comprimento do intervalo
. (Obs.: outra forma comum é ; ambas são válidas, mas escolhemos para coincidir com os resultados fornecidos.)\n
Fórmulas usadas:e . Em cada passo eu mostro e arredondados e somo para obter , tudo com 4 casas decimais.
Passo 3
Iteração
: intervalo inicial\n
. Calcula-se o ponto médio:
Avalia-se
nos três pontos (mostrando
e
):\n
. Como
, obtemos
(arredondado a 4 casas).\n
. Como
, obtemos
.\n
\n
Verificação de sinais: (negativo · negativo = positivo), então a raiz está no subintervalo
. Comprimento do intervalo
, continuar.
Verificação de sinais:
Passo 4
Iteração
: novo intervalo
\n
Ponto médio:
Ponto médio:
Avaliações:\n
(mantido do passo anterior),\quad
(arredondado),\quad
\n
Sinais: (negativo·positivo = negativo), então a raiz está em
. Comprimento do intervalo
, continuar.
Sinais:
Passo 5
Iteração
: novo intervalo
\n
Ponto médio:
Ponto médio:
Avaliações:\n
(mantido),\quad
,\quad
.\n
Sinais: (negativo·positivo), então a raiz está em
. Comprimento do intervalo
, continuar.
Sinais:
Passo 6
Iteração
: novo intervalo
\n
Ponto médio:
Ponto médio:
Avaliações:\n
,\quad
,\quad
.\n
Sinais: é negativo e
é positivo, então a raiz está em
. Comprimento do intervalo
, continuar.
Sinais:
Passo 7
Iteração
: novo intervalo
\n
Ponto médio:
Ponto médio:
Avaliações:\n
,\quad
,\quad
.\n
Sinais: negativo e
positivo, então a raiz está em
. Comprimento do intervalo
, continuar.
Sinais:
Passo 8
Iteração
: novo intervalo
\n
Ponto médio:
Ponto médio:
Avaliações:\n
,\quad
,\quad
.\n
Sinais: negativo e
positivo, então a raiz está em
. Comprimento do intervalo
, continuar.
Sinais:
Passo 9
Iteração
: novo intervalo
\n
Ponto médio:
Ponto médio:
Avaliações:\n
,\quad
,\quad
.\n
Sinais: negativo e
positivo, então a raiz está em
. Comprimento do intervalo
, ainda não satisfaz
, continuar.
Sinais:
Passo 10
Iteração
: novo intervalo
\n
Ponto médio:
Ponto médio:
Avaliações:\n
,\quad
,\quad
.\n
Sinais: é negativo e
é positivo, então a raiz está em
. Comprimento do intervalo atual
se considerarmos o novo subintervalo, mas tomando o intervalo usado na iteração anterior (antes da troca)
tínhamos
.\n
Como na iteração o comprimento do intervalo final considerado ficou menor que
(de fato
), atingimos a tolerância exigida e podemos parar.
Sinais:
Como na iteração