Para as funções apresentadas a seguir, aplique as técnicas de Integração Numérica calculando a integral por meio do Método dos Trapézios e por Simpson 13. Para os cálculos, utilize 4 casas decimais.
adotar n=8. Resposta: AS=2,5628 ua
integral0^8 raizx+sen(x)4+raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 a 8 usando duas técnicas de integração numérica: o Método dos Trapézios e o Método de Simpson . Para isso, vamos usar subdivisões e arredondar nosso resultado em 4 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada método faz. O Método dos Trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios, enquanto o Método de Simpson usa parábolas para uma aproximação mais precisa. Ambos precisam que a função seja avaliada em pontos igualmente espaçados.

Passo 3

Vamos calcular o tamanho de cada subintervalo. Como o intervalo é de 0 a 8 e h = b - an = 8 - 08 = 1 , o tamanho é:
Então, nossos pontos serão .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função f(0) & = raiz0 + sin(0)4 + raiz0 = 04 = 0 f(1) & = raiz1 + sin(1)4 + raiz1 approx 0.3535 f(2) & = raiz2 + sin(2)4 + raiz2 approx 0.3690 f(3) & approx 0.3925 f(4) & approx 0.4142 f(5) & approx 0.4335 f(6) & approx 0.4508 f(7) & approx 0.4663 f(8) & approx 0.4804 em cada um desses pontos:
(Os valores aproximados são calculados usando uma calculadora científica.)

Passo 5

Método dos Trapézios

A fórmula do Método dos Trapézios é:
AT = h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Vamos substituir os valores:
AT = 12 [ 0 + 2(0.3535 + 0.3690 + 0.3925 + 0.4142 + 0.4335 + 0.4508 + 0.4663) + 0.4804 ]
Calculando a soma dos 2(0.3535 + 0.3690 + 0.3925 + 0.4142 + 0.4335 + 0.4508 + 0.4663) = 2(2.8888) = 5.7776 intermediários:
AT = 12 (0 + 5.7776 + 0.4804) = 12 times 6.2580 = 3.1290
Então:

Passo 6

Método de Simpson AS = h3 [ f(x0) + 4 sumi ímpar f(xi) + 2 sumi par f(xi) + f(xn) ]

A fórmula do Método de Simpson AS = 13 [ 0 + 4(0.3535 + 0.3925 + 0.4335 + 0.4663) + 2(0.3690 + 0.4142 + 0.4508) + 0.4804 ] é:
4(0.3535 + 0.3925 + 0.4335 + 0.4663) = 4(1.6458) = 6.5832 í
Identificando os índices ímpares e pares:
  • Ímpares: 2(0.3690 + 0.4142 + 0.4508) = 2(1.2340) = 2.4680
  • Pares: AS = 13 (0 + 6.5832 + 2.4680 + 0.4804) = 13 times 9.5316 = 3.1772
Substituindo os valores:
Calculando as somas:
Então:

Resposta

Usando o Método dos Trapézios, a integral está aproximadamente unidades arbitrárias. Já pelo Método de Simpson , a integral é aproximadamente unidades arbitrárias.

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