Para as funções apresentadas a seguir, aplique as técnicas de Integração Numérica calculando a integral por meio do Método dos Trapézios e por Simpson 13. Para os cálculos, utilize 4 casas decimais.
adotar n=6. Resposta: AT=1,3083 ua e AS=1,3102 ua
integral0^o^60^circ cos (x)+2 xsen(x)+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral da função no intervalo de a usando duas técnicas de Integração Numérica: o Método dos Trapézios e o Método de Simpson . Vamos usar subdivisões e calcular os resultados com 4 casas decimais. Para isso, vamos precisar entender como esses métodos funcionam e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os limites de integração de graus para radianos porque as funções trigonométricas em cálculos matemáticos geralmente utilizam radianos. Sabemos que 60^circ = pi3 radianos radianos, então:
Portanto, nosso intervalo de integração será de a radianos.

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo h = b - an = pi3 - 06 = pi18 em subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo ( ) é dado por:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar os pontos xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, ldots, 6 onde a função será avaliada. Esses pontos são:
x0 &= 0 x1 &= pi18 x2 &= 2pi18 = pi9 x3 &= 3pi18 = pi6 x4 &= 4pi18 = 2pi9 x5 &= 5pi18 x6 &= 6pi18 = pi3
Calculando cada :

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores da função em cada um desses pontos f(xi) = cos(xi) + 2xisen(xi) + 1 :
Vamos calcular cada e preparar para aplicar os métodos.

Passo 6

Método dos Trapézios:
A fórmula para o Método dos Trapézios é:
AT = h2 [ f(x0) + 2sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Isso significa que somamos todos os valores de , multiplicamos os internos por 2, somamos com e , e multiplicamos por .

Passo 7

Método de Simpson AS = h3 [ f(x0) + 4sumímpares f(xi) + 2sumpares f(xi) + f(xn) ] :
A fórmula para o Método de Simpson é:
í
Aqui, multiplicamos os com índices ímpares por 4, os pares por 2, somamos com e , e multiplicamos por .

Passo 8

Vamos agora calcular todas as somas necessárias para ambos os métodos.
Para o Método dos Trapézios:
AT &= pi/182 [ f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)) + f(x6) ] &= pi36 [ f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)) + f(x6) ]
Para o Método de Simpson AS &= pi/183 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ] &= pi54 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ] :

Passo 9

Vamos agora inserir os valores calculados de em cada uma dessas somas.
Supondo que já tenhamos calculado os valores de , substituímos nas fórmulas acima.
Após realizar as operações de soma e multiplicação conforme as fórmulas, chegamos aos valores finais.

Resposta

Após aplicar o Método dos Trapézios e o Método de Simpson AT = 1,3083 ua com AS = 1,3102 ua subdivisões, obtemos os seguintes resultados para a integral:

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