Para as funções dadas, seja x0=0, x1=0,6 e x2=0,9. Construa polinômios interpoladores de grau dois para determinar uma aproximação de f(0,45) e encontre o erro absoluto.
f(x)=cos x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente montar um polinômio interpolador de grau 2 (ou seja, com 3 pontos) pra aproximar x0=0, x1=0,6, x2=0,9 onde , usando os nós
Conteúdo: interpolação polinomial (método de Lagrange). Vamos precisar dos valores e das fórmulas dos polinômios base de Lagrange .

Passo 2

Primeiro, calculamos os valores de f(x0)=cos(0)=1, f(x1)=cos(0,6)approx0,8253356, f(x2)=cos(0,9)approx0,6216090 nos nós:

Passo 3

Agora definimos os 3 polinômios de Lagrange:
L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2), L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2), L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1)
Vamos avaliar cada um em :

Passo 4

Montamos o polinômio e avaliamos:
P2(0,45)= f(x0)L0(0,45)+f(x1)L1(0,45)+f(x2)L2(0,45)
Substituindo valores:
P2(0,45)=1cdot0,125 +0,8253356cdot1,125 +0,6216090cdot(-0,25) approx0,125+0,9281286-0,1554023 approx0,8977263

Passo 5

Agora calculamos o valor exato e o erro absoluto:
f(0,45)=cos(0,45)approx0,9004471,
Erro absoluto=l|P2(0,45)-f(0,45)r| approxl|0,8977263-0,9004471r| approx0,0027208

Resposta

Aproximação: .
Erro absoluto:

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