Para as funções dadas, seja x0=0, x1=0,6 e x2=0,9. Construa polinômios interpoladores de grau dois para determinar uma aproximação de f(0,45) e encontre o erro absoluto.
f(x)=ln (x+1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida no que temos:
• Enunciado: construir um polinômio interpolador de grau 2 para a função
f(x)=ln(x+1)
nos pontos
x0=0, x1=0,6, x2=0,9
e usar esse polinômio pra aproximar f(0,45), encontrando também o erro absoluto.
• Conteúdo envolvido: interpolação polinomial (forma de Lagrange). Vamos precisar de:
  1. calcular f(xi)=ln(xi+1);
  2. montar os polinômios básicos de Lagrange L0(x),L1(x),L2(x);
  3. somar tudo para obter P2(x);
  4. avaliar em x=0,45 e comparar com o valor exato f(0,45).
Ficou claro? Partiu resolver de verdade!

Passo 2

Primeiro calculamos os valores de f nos nós:
f(x0)=f(0)=ln(1)=0
f(x1)=f(0,6)=ln(1,6)approx0,470004
f(x2)=f(0,9)=ln(1,9)approx0,641853
Agora os polinômios de Lagrange:
L0(x)=(x-0,6)(x-0,9)(0-0,6)(0-0,9)=(x-0,6)(x-0,9)0,54
L1(x)=(x-0)(x-0,9)(0,6-0)(0,6-0,9)=x(x-0,9)0,6cdot(-0,3)=-x(x-0,9)0,18
L2(x)=(x-0)(x-0,6)(0,9-0)(0,9-0,6)=x(x-0,6)0,9cdot0,3=x(x-0,6)0,27
O polinômio interpolador é
P2(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x),

Passo 3

Vamos avaliar P2(0,45). Primeiro os valores de L1,L2:
L1(0,45)=-0,45,(0,45-0,9)0,18 =-0,45cdot(-0,45)0,18 =;1,125
L2(0,45)=0,45,(0,45-0,6)0,27 =0,45cdot(-0,15)0,27 =-0,25
Como f(x0)=0, só sobram os termos 1 e 2:
P2(0,45)=f(x1)L1(0,45)+f(x2)L2(0,45) approx0,470004cdot1,125;-;0,641853cdot0,25 approx0,368293,

Passo 4

Agora o valor exato da função e o erro absoluto:
f(0,45)=ln(1,45)approx0,371100
Erro absoluto=l|f(0,45)-P2(0,45)r| approx|0,371100-0,368293| approx0,002807,

Resposta

Aproximação pelo polinômio de grau 2:
P2(0,45)approx0,36829
Erro absoluto:
|f(0,45)-P2(0,45)|approx0,00281,

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