As funções trigonométricas não são inversíveis, porque não são bijetoras. No entanto, podemos falar em funções trigonométricas inversas se fizermos alguns restrições aos domínios e aos contradomínios dessas funções trigonométricas. Defina as funções:
arco-cosseno
arco-cosseno
Passo 1
O enunciado diz que não podemos inverter diretamente
em todo o seu domínio porque ela não é bijetora. Para criar uma função inversa — o arco-cosseno — precisamos escolher um intervalo em que
seja injetora e sobrejetora sobre
. A ideia é restringir o domínio de
para torná-la bijetora, e aí definir sua inversa.
Passo 2
A função
é contínua, estritamente decrescente e atinge todos os valores de
a
exatamente uma vez. Sendo bijetora nesse intervalo, ela admite inversa. Definimos então o arco-cosseno como:
onde, para cada
,
é o único
que satisfaz