As funções trigonométricas não são inversíveis, porque não são bijetoras. No entanto, podemos falar em funções trigonométricas inversas se fizermos alguns restrições aos domínios e aos contradomínios dessas funções trigonométricas. Defina as funções:
arco-cosseno

Passo 1

O enunciado diz que não podemos inverter diretamente cos x em todo o seu domínio porque ela não é bijetora. Para criar uma função inversa — o arco-cosseno — precisamos escolher um intervalo em que cos x seja injetora e sobrejetora sobre [-1,1]. A ideia é restringir o domínio de cos x para torná-la bijetora, e aí definir sua inversa.

Passo 2

A função
coscolon [0,pi];longrightarrow;[-1,1]
é contínua, estritamente decrescente e atinge todos os valores de -1 a 1 exatamente uma vez. Sendo bijetora nesse intervalo, ela admite inversa. Definimos então o arco-cosseno como:
arccoscolon [-1,1];longrightarrow;[0,pi]
onde, para cada xin[-1,1], arccos(x) é o único yin[0,pi] que satisfaz
cos(y)=x

Resposta

arccoscolon [-1,1]to[0,pi] tal que arccos(x)=yiff yin[0,pi] e cos(y)=x

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