As funções trigonométricas não são inversíveis, porque não são bijetoras. No entanto, podemos falar em funções trigonométricas inversas se fizermos alguns restrições aos domínios e aos contradomínios dessas funções trigonométricas. Defina as funções:
arco-cotangente
arco-cotangente
Passo 1
O objetivo é definir a função arco-cotangente como inversa da cotangente. Sabemos que a função
não é bijetora em
como está, então precisamos restringir seu domínio de modo a torná-la bijetora (e assim invertível).
Passo 2
Escolhemos restringir
Nessa escolha,
é contínua e estritamente decrescente em
, e atinge todos os valores reais. Logo é bijetora de
em
.
Passo 3
Definimos então a arco-cotangente como a inversa dessa bijeção:
Passo 4
Dessa definição surgem propriedades imediatas:
- O domínio de
é e a imagem (contradomínio) é . -
é estritamente decrescente; - para todo
vale a relação
e sua derivada é