As funções trigonométricas não são inversíveis, porque não são bijetoras. No entanto, podemos falar em funções trigonométricas inversas se fizermos alguns restrições aos domínios e aos contradomínios dessas funções trigonométricas. Defina as funções:
arco-cotangente

Passo 1

O objetivo é definir a função arco-cotangente como inversa da cotangente. Sabemos que a função cot x não é bijetora em R como está, então precisamos restringir seu domínio de modo a torná-la bijetora (e assim invertível).

Passo 2

Escolhemos restringir
cotcolon (0,pi)toR
Nessa escolha, cot x é contínua e estritamente decrescente em (0,pi), e atinge todos os valores reais. Logo é bijetora de (0,pi) em R.

Passo 3

Definimos então a arco-cotangente como a inversa dessa bijeção:
arccotcolon Rto(0,pi), tal que y=arccot(x);Long<=ftrightarrow;cot y = x,;yin(0,pi)

Passo 4

Dessa definição surgem propriedades imediatas:
  1. O domínio de arccot é R e a imagem (contradomínio) é (0,pi).
  2. arccot é estritamente decrescente;
  3. para todo xinR vale a relação
arccot(x) = pi2-arctan(x),
e sua derivada é
ddxl[arccot(x)r] =-11+x^2

Resposta

arccotcolon Rto(0,pi) definida por
y=arccot(x) Long<=ftrightarrow cot y=x,;yin(0,pi)

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