4á) Encontre aproximação para a raiz da função f(x)=4 sen x-e^x, no intervalo ( -4,-3 ), pelo método da Posição falsa, considerando a precisão de 10^-2.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de f(x)=4sin x - e^x no intervalo (-4,-3) pelo método da Posição Falsa, com precisão de 10^-2. Vamos:
  1. Checar que há troca de sinal em a=-4 e b=-3.
  2. Aplicar a fórmula da Posição Falsa para obter pontos c.
  3. Iterar até que a diferença |ck-ck-1|<10^-2.

Passo 2

Calculamos
f(-4)=4sin(-4)-e^-4approx 4cdot0,7568 - 0,0183 = 3,0097>0,
f(-3)=4sin(-3)-e^-3approx 4cdot(-0,1411) - 0,0498 = -0,6142<0
Logo há raiz em (-4,-3) e tomamos a=-4, b=-3, f(a)>0, f(b)<0.

Passo 3

Primeira iteração:
c1=b - f(b),a-bf(a)-f(b) = -3 - (-0,6142),-4+33,0097-(-0,6142) approx -3,1694
Calculamos
f(c1)=4sin(-3,1694)-e^-3,1694approx 0,0692>0
Como f(c1) e f(a) têm mesmo sinal, substituímos a c1=-3,1694, b=-3.

Passo 4

Segunda iteração:
c2=b - f(b),a-bf(a)-f(b) = -3 - (-0,6142),-3,1694+30,0692-(-0,6142) approx -3,1523
Calculamos
f(c2)=4sin(-3,1523)-e^-3,1523approx 0,0002>0
Atualizamos a c2=-3,1523. A diferença entre as aproximações é
|c2-c1| = |-3,1523-(-3,1694)| = 0,0171 > 10^-2,
ainda não basta.

Passo 5

Terceira iteração:
c3= -3 - (-0,6142),-3,1523+30,0002-(-0,6142) approx -3,1524
Agora
|c3-c2| = |-3,1524-(-3,1523)| = 0,0001 < 10^-2,
então atingimos a precisão desejada.

Resposta

A aproximação da raiz pelo método da Posição Falsa, com precisão de 10^-2, é
x approx -3,15

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