3á) Encontre aproximação para a raiz da função f(x)=4 sen x-e^x, no intervalo ( -4,-3 ), pelo método da bissecção, considerando a precisão de 10^-2.

Passo 1

O enunciado pede a raiz de
f(x)=4sin x - e^x
no intervalo (-4,-3) usando o método da bissecção com precisão 10^-2. Vamos precisar garantir que f(a) e f(b) têm sinais opostos, aplicar sucessivas divisões do intervalo e parar quando a largura do intervalo for menor que 10^-2.

Passo 2

Calculamos os extremos do intervalo para verificar o teorema do valor intermediário:
f(-4)=4sin(-4)-e^-4approx 4cdot(-0,7568)-0,0183approx -3,0272-0,0183approx 3,0089>0,
f(-3)=4sin(-3)-e^-3approx 4cdot(-0,1411)-0,0498approx -0,5644-0,0498approx -0,6142<0
Como f(-4)cdot f(-3)<0, há pelo menos uma raiz em (-4,-3).

Passo 3

No método da bissecção, definimos a0=-4, b0=-3 e, para cada k>=1, calculamos
mk=ak-1+bk-12,
avaliamos f(mk) e escolhemos o subintervalo [ak,bk] tal que f(ak),f(bk)<0. O critério de parada é
bk - ak < 10^-2

Passo 4

Aplicando iterativamente, obtemos:
c|c|c|c|c k & ak-1 & bk-1 & mk=(ak-1+bk-1)/2 & Sinal de f(mk)hline 1 & -4 & -3 & -3,5000 & f(m1)>0 2 & -3,5000 & -3 & -3,2500 & f(m2)>0 3 & -3,2500 & -3 & -3,1250 & f(m3)>0 4 & -3,1250 & -3 & -3,0625 & f(m4)>0 5 & -3,0625 & -3 & -3,03125& f(m5)<0 6 & -3,0625 & -3,03125& -3,046875& f(m6)>0 7 & -3,046875& -3,03125& -3,0390625& f(m7)>0
Após a 7ª iteração, o novo intervalo é l[-3,0390625,,-3,03125r] e
b7 - a7 = -3,03125 -(-3,0390625)=0,0078125<0,01
Então paramos. A raiz está neste intervalo e podemos tomar como aproximação o ponto médio
m=-3,0390625 + (-3,03125)2=-3,03515625

Resposta

Aproximação da raiz: -3,04.

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