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QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|l|}{
Sejam
tais que
.
Prove que:
} \
| Sejam
|
| Prove que:
|
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma prova clara:
- Existem
tais que . - Deve-se provar que
As informações relevantes são: os três números são positivos menores que
e a soma das produtos dois a dois vale
. O que queremos mostrar é um limite inferior para a soma
.
Passo 2
Fazer uma substituição trigonométrica que simplifica a condição
. Como
, existe um ângulo
tal que
; analogamente existem
com
e
. Portanto
com
(isto garante
positivo e menor que
). A condição do enunciado torna-se
Passo 3
Usar a fórmula da tangente da soma para relacionar
com essa igualdade. A fórmula geral é
Se
, o denominador é
e, portanto,
é indefinido (tende ao infinito), o que implica
Logo os ângulos
satisfazem
Passo 4
Expressar cada termo
em termos de
de um dos ângulos
. Usando a fórmula da tangente de ângulo duplo,
temos, com
,
Analogamente,
Portanto a soma que queremos estimar vira
Passo 5
Mostrar que
é convexa em
para poder aplicar Jensen. Calculando derivadas:
Como
, tem-se
e
, logo
nessa faixa; portanto
é convexa em
.
Passo 6
Aplicar a desigualdade de Jensen para a função convexa
com três argumentos
:
Como
, obtemos
Multiplicando por
(por causa do passo 4),
Logo
Passo 7
Identificar o caso de igualdade: ocorre quando
, isto é, quando
e portanto
Nesse caso realmente
e a soma atinge
.