\hline 1{ }^{\text {a }} QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|l|}{
Sejam \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in(0,1) tais que \mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx}=1.
Prove que: \frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}} \geq \frac{3 \sqrt{3}}{2}
} \

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma prova clara:
  • Existem x,y,z\in(0,1) tais que \,xy+yz+zx=1.
  • Deve-se provar que
\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.
As informações relevantes são: os três números são positivos menores que 1 e a soma das produtos dois a dois vale 1. O que queremos mostrar é um limite inferior para a soma \dfrac{x}{1-x^{2}}+\dfrac{y}{1-y^{2}}+\dfrac{z}{1-z^{2}}.

Passo 2

Fazer uma substituição trigonométrica que simplifica a condição xy+yz+zx=1. Como x\in(0,1), existe um ângulo u\in(0,\tfrac{\pi}{4}) tal que x=\tan u; analogamente existem v,w\in(0,\tfrac{\pi}{4}) com y=\tan v e z=\tan w. Portanto
x=\tan u,\qquad y=\tan v,\qquad z=\tan w,
com u,v,w\in(0,\tfrac{\pi}{4}) (isto garante \tan positivo e menor que 1). A condição do enunciado torna-se
\tan u\tan v+\tan v\tan w+\tan w\tan u = 1.

Passo 3

Usar a fórmula da tangente da soma para relacionar u+v+w com essa igualdade. A fórmula geral é
\tan(u+v+w)=\frac{\tan u+\tan v+\tan w-\tan u\tan v\tan w}{1-(\tan u\tan v+\tan v\tan w+\tan w\tan u)}.
Se \tan u\tan v+\tan v\tan w+\tan w\tan u=1, o denominador é 0 e, portanto, \tan(u+v+w) é indefinido (tende ao infinito), o que implica
u+v+w=\frac{\pi}{2}\quad(\text{pois }u+v+w\in(0,\tfrac{3\pi}{4})\text{ e a única possibilidade nessa faixa é }\tfrac{\pi}{2}).úé
Logo os ângulos A:=2u,\;B:=2v,\;C:=2w satisfazem
A,B,C\in(0,\tfrac{\pi}{2}),\qquad A+B+C=\pi.

Passo 4

Expressar cada termo \dfrac{x}{1-x^{2}} em termos de \tan de um dos ângulos A,B,C. Usando a fórmula da tangente de ângulo duplo,
\tan(2u)=\frac{2\tan u}{1-\tan^{2}u},
temos, com x=\tan u,
\frac{x}{1-x^{2}}=\frac{\tan u}{1-\tan^{2}u}=\frac{1}{2}\tan(2u)=\frac{1}{2}\tan A.
Analogamente,
\frac{y}{1-y^{2}}=\frac{1}{2}\tan B,\qquad \frac{z}{1-z^{2}}=\frac{1}{2}\tan C.
Portanto a soma que queremos estimar vira
\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}}=\frac{1}{2}\big(\tan A+\tan B+\tan C\big).

Passo 5

Mostrar que \tan é convexa em (0,\tfrac{\pi}{2}) para poder aplicar Jensen. Calculando derivadas:
\frac{d}{d\theta}\tan\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta,\qquad \frac{d^{2}}{d\theta^{2}}\tan\theta = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\tan\theta.
Como A,B,C\in(0,\tfrac{\pi}{2}), tem-se \operatorname{sec}^{2}\theta>0 e \tan\theta>0, logo \tan''\theta>0 nessa faixa; portanto \tan é convexa em (0,\tfrac{\pi}{2}).

Passo 6

Aplicar a desigualdade de Jensen para a função convexa \tan com três argumentos A,B,C:
\frac{\tan A+\tan B+\tan C}{3}\ge \tan\!\Big(\frac{A+B+C}{3}\Big).
Como A+B+C=\pi, obtemos
\frac{\tan A+\tan B+\tan C}{3}\ge \tan\!\Big(\frac{\pi}{3}\Big)=\tan\!\big(60^\circ\big)=\sqrt{3}.
Multiplicando por 1/2 (por causa do passo 4),
\frac{1}{2}\big(\tan A+\tan B+\tan C\big)\ge \frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.
Logo
\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}} \ge \frac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Identificar o caso de igualdade: ocorre quando A=B=C=\tfrac{\pi}{3}, isto é, quando u=v=w=\tfrac{\pi}{6} e portanto
x=y=z=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{6}\big)=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Nesse caso realmente xy+yz+zx=3\cdot\frac{1}{3}=1 e a soma atinge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}

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