\hline 4^{\mathrm{a}} QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|c|}{O inteiro \mathrm{N}=11 \ldots 1144 \ldots 44 inicia com 2026 1s consecutivos seguidos por 4052 4s consecutivos. Prove que N não é um quadrado perfeito.} \

Passo 1

O enunciado dá o inteiro N formado por 2026 dígitos 1 consecutivos seguidos por 4052 dígitos 4 consecutivos. Ou seja, a parte final de N tem muitos dígitos 4. A pergunta é: provar que N não é um quadrado perfeito.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há pelo menos 4 dígitos finais iguais a 4 (na verdade 4052 deles).
  • Queremos mostrar que não existe inteiro m tal que m^2=N.

Passo 2

Ideia do método: trabalhar com aritmética modular (restos). A estratégia é escolher um módulo M conveniente tal que:
  • Os quadrados perfeitos têm apenas certos restos possíveis módulo M (chamados resíduos quadráticos), e
  • O número N tenha um resto módulo M que não aparece entre esses restos permitidos.
Vou usar o módulo M=16. Vou explicar por quê e como isso funciona.

Passo 3

Por que só os últimos quatro dígitos decimais determinam o resto módulo 16?
Observe que 10^4=10000 é divisível por 16 (pois 10000=16\cdot625). Em linguagem modular:
10^4\equiv0\pmod{16}.
Isto significa que qualquer potência de 10 com expoente maior ou igual a 4 é congruente a 0 módulo 16 quando multiplicada por algum dígito inteiro. Assim, em notação decimal escrita
N = a_k10^k + a_{k-1}10^{k-1}+\cdots + a_410^4 + a_310^3 + a_210^2 + a_110 + a_0,
todos os termos com 10^4,10^5,\dots são múltiplos de 10^4, portanto múltiplos de 16, e desaparecem ao considerar N módulo 16. Logo o resto de N módulo 16 é igual ao resto formado pelos últimos quatro dígitos de N.

Passo 4

Determinar os últimos quatro dígitos de N. Como N termina com 4052 dígitos iguais a 4, os últimos quatro dígitos são 4444. Portanto
N\equiv 4444 \pmod{16}.

Passo 5

Calcular 4444 \bmod 16. Fazendo a divisão:
4444 = 16\cdot 277 + 12,
portanto
4444\equiv 12 \pmod{16}.
Combinando com o passo anterior, obtemos
N\equiv 12 \pmod{16}.

Passo 6

Listar os possíveis restos de um quadrado perfeito módulo 16.
Calculemos os quadrados dos resíduos 0,1,\dots,15 módulo 16. É suficiente ver os resíduos de 0 a 7, porque (16-k)^2\equiv k^2\pmod{16}. Temos:
\begin{aligned} 0^2&\equiv 0\pmod{16},\\\\ 1^2&\equiv 1\pmod{16},\\\\ 2^2&\equiv 4\pmod{16},\\\\ 3^2&\equiv 9\pmod{16},\\\\ 4^2&\equiv 0\pmod{16},\\\\ 5^2&\equiv 9\pmod{16},\\\\ 6^2&\equiv 4\pmod{16},\\\\ 7^2&\equiv 1\pmod{16}. \end{aligned}
Portanto, os únicos restos possíveis de um quadrado inteiro módulo 16 são
\{0,\,1,\,4,\,9\}.

Passo 7

Comparar o resto de N com os restos possíveis de quadrados.
Do passo 5 temos N\equiv 12\pmod{16}. Do passo 6 os restos possíveis para quadrados são 0,1,4,9. Como 12 não pertence a \{0,1,4,9\}, segue que N não pode ser congruente a um quadrado módulo 16. Logo não existe inteiro m com m^2\equiv N\pmod{16}, isto é, N não é um quadrado perfeito.

Resposta

N não é um quadrado perfeito.

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