\hline
QUESTÃO & & Valor: 1,00 \
\hline \multicolumn{3}{|c|}{O inteiro
inicia com 2026 1s consecutivos seguidos por 4052 4s consecutivos. Prove que N não é um quadrado perfeito.} \
\hline \multicolumn{3}{|c|}{O inteiro
Passo 1
O enunciado dá o inteiro
formado por
dígitos
consecutivos seguidos por
dígitos
consecutivos. Ou seja, a parte final de
tem muitos dígitos
. A pergunta é: provar que
não é um quadrado perfeito.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há pelo menos
dígitos finais iguais a (na verdade deles). - Queremos mostrar que não existe inteiro
tal que .
Passo 2
Ideia do método: trabalhar com aritmética modular (restos). A estratégia é escolher um módulo
conveniente tal que:
- Os quadrados perfeitos têm apenas certos restos possíveis módulo
(chamados resíduos quadráticos), e - O número
tenha um resto módulo que não aparece entre esses restos permitidos.
Vou usar o módulo
. Vou explicar por quê e como isso funciona.
Passo 3
Por que só os últimos quatro dígitos decimais determinam o resto módulo
?
Observe que
é divisível por
(pois
). Em linguagem modular:
Isto significa que qualquer potência de
com expoente maior ou igual a
é congruente a
módulo
quando multiplicada por algum dígito inteiro. Assim, em notação decimal escrita
todos os termos com
são múltiplos de
, portanto múltiplos de
, e desaparecem ao considerar
módulo
. Logo o resto de
módulo
é igual ao resto formado pelos últimos quatro dígitos de
.
Passo 4
Determinar os últimos quatro dígitos de
. Como
termina com
dígitos iguais a
, os últimos quatro dígitos são
. Portanto
Passo 5
Calcular
. Fazendo a divisão:
portanto
Combinando com o passo anterior, obtemos
Passo 6
Listar os possíveis restos de um quadrado perfeito módulo
.
Calculemos os quadrados dos resíduos
módulo
. É suficiente ver os resíduos de
a
, porque
. Temos:
Portanto, os únicos restos possíveis de um quadrado inteiro módulo
são
Passo 7
Comparar o resto de
com os restos possíveis de quadrados.
Do passo 5 temos
. Do passo 6 os restos possíveis para quadrados são
. Como
não pertence a
, segue que
não pode ser congruente a um quadrado módulo
. Logo não existe inteiro
com
, isto é,
não é um quadrado perfeito.