Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando a fatoração de Cholesky:

a)\left{ \begin{array} { r } { 1 6 x _ { 1 } + 4 x _ { 2 } + 8 x _ { 3 } + 4 x _ { 4 } = 3 2 } \\ { 4 x _ { 1 } + 1 0 x _ { 2 } + 8 x _ { 3 } + 4 x _ { 4 } = 2 6 } \\ { 8 x _ { 1 } + 8 x _ { 2 } + 1 2 x _ { 3 } + 1 0 x _ { 4 } = 3 8 } \\ { 4 x _ { 1 } + 4 x _ { 2 } + 1 0 x _ { 3 } + 1 2 x _ { 4 } = 3 0 } \end{array} \quad b) \quad \left{ \begin{array}{r} 20 x_{1}+7 x_{2}+9 x_{3}=16 \\ 7 x_{1}+30 x_{2}+8 x_{3}=38 \\ 9 x_{1}+8 x_{2}+30 x_{3}=38 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares e pede que sejam resolvidos usando fatoração de Cholesky.
Sistema (a):
\begin{cases} 16x_{1}+4x_{2}+8x_{3}+4x_{4}=32,\\[4pt] 4x_{1}+10x_{2}+8x_{3}+4x_{4}=26,\\[4pt] 8x_{1}+8x_{2}+12x_{3}+10x_{4}=38,\\[4pt] 4x_{1}+4x_{2}+10x_{3}+12x_{4}=30. \end{cases}
Dados relevantes (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado): matriz dos coeficientes e vetor dos termos independentes são
A^{(a)}=\begin{pmatrix} 16 & 4 & 8 & 4\\[4pt] 4 & 10 & 8 & 4\\[4pt] 8 & 8 & 12 & 10\\[4pt] 4 & 4 & 10 & 12 \end{pmatrix},\qquad b^{(a)}=\begin{pmatrix}32\\[4pt]26\\[4pt]38\\[4pt]30\end{pmatrix}.
Sistema (b):
\begin{cases} 20x_{1}+7x_{2}+9x_{3}=16,\\[4pt] 7x_{1}+30x_{2}+8x_{3}=38,\\[4pt] 9x_{1}+8x_{2}+30x_{3}=38. \end{cases}
Dados relevantes (peguei os coeficientes e termos independentes do enunciado):
A^{(b)}=\begin{pmatrix} 20 & 7 & 9\\[4pt] 7 & 30 & 8\\[4pt] 9 & 8 & 30 \end{pmatrix},\qquad b^{(b)}=\begin{pmatrix}16\\[4pt]38\\[4pt]38\end{pmatrix}.
O pedido é: resolver cada sistema usando fatoração de Cholesky. Vou proceder passo a passo ensinando as fórmulas e aplicando-as.]

Passo 2

Breve aula: o que é a fatoração de Cholesky e como calcular os elementos.
  • Se A é simétrica e definida positiva, existe uma fatoração de Cholesky do tipo
A = L\,L^{T},
onde L é triangular inferior com entradas l_{ij} e diagonal positiva ( l_{ii}>0).
  • As fórmulas para os elementos de L (índices em notação usual: linha i, coluna j):
\text{para } i=j:\qquad l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\displaystyle\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}},
\text{para } i>j:\qquad l_{ij}=\frac{1}{l_{jj}}\Big(a_{ij}-\displaystyle\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik}l_{jk}\Big).
  • Depois de achar L resolve-se L\,y=b por substituição direta (forward substitution) e em seguida L^{T}x=y por substituição retroativa (back substitution).
Vou aplicar isso ao sistema (a) com cálculo explícito dos l_{ij}, e para o sistema (b) vou usar a variante LDL^{T} (que é uma forma de Cholesky com L unitária e D diagonal) porque ela mantém frações racionais durante a decomposição e facilita contas exatas à mão; o LDL^{T} é compatível com a ideia de Cholesky (é uma variante que evita extrair raízes intermediárias).

Passo 3

Aplicando Cholesky ao sistema (a). Primeiro confirmo que A^{(a)} é simétrica (os termos acima e abaixo da diagonal coincidem) — condição necessária. Vou calcular L com as fórmulas.
Começo por l_{11}:
l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{16}=4.
Agora as entradas da primeira coluna ( i>1, j=1):
l_{21}=\frac{a_{21}}{l_{11}}=\frac{4}{4}=1,
l_{31}=\frac{a_{31}}{l_{11}}=\frac{8}{4}=2,
l_{41}=\frac{a_{41}}{l_{11}}=\frac{4}{4}=1.

Passo 4

Continuo com l_{22} usando a fórmula diagonal:
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}}=\sqrt{10-1^{2}}=\sqrt{9}=3.
Agora os elementos l_{32} e l_{42} (coluna 2, abaixo da diagonal):
l_{32}=\frac{1}{l_{22}}\big(a_{32}-l_{31}l_{21}\big)=\frac{1}{3}\big(8-2\cdot1\big)=\frac{6}{3}=2,
l_{42}=\frac{1}{l_{22}}\big(a_{42}-l_{41}l_{21}\big)=\frac{1}{3}\big(4-1\cdot1\big)=\frac{3}{3}=1.

Passo 5

Agora l_{33} (diagonal terceira linha):
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}}=\sqrt{12-2^{2}-2^{2}}=\sqrt{12-4-4}=\sqrt{4}=2.
E l_{43} (coluna 3, linha 4):
l_{43}=\frac{1}{l_{33}}\big(a_{43}-l_{41}l_{31}-l_{42}l_{32}\big) =\frac{1}{2}\big(10-1\cdot2-1\cdot2\big)=\frac{6}{2}=3.

Passo 6

Por fim l_{44} (última diagonal):
l_{44}=\sqrt{a_{44}-l_{41}^{2}-l_{42}^{2}-l_{43}^{2}} =\sqrt{12-1^{2}-1^{2}-3^{2}}=\sqrt{12-1-1-9}=\sqrt{1}=1.
Assim a matriz L obtida é
L=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix},
verificável que A^{(a)}=L\,L^{T}.]

Passo 7

Resolver L\,y=b^{(a)} por substituição direta (forward substitution). A equação L\,y=b dá componente a componente:
\begin{aligned} y_{1}&=\frac{b_{1}}{l_{11}}=\frac{32}{4}=8,\\[4pt] y_{2}&=\frac{b_{2}-l_{21}y_{1}}{l_{22}}=\frac{26-1\cdot8}{3}=\frac{18}{3}=6,\\[4pt] y_{3}&=\frac{b_{3}-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2}}{l_{33}} =\frac{38-2\cdot8-2\cdot6}{2}=\frac{10}{2}=5,\\[4pt] y_{4}&=\frac{b_{4}-l_{41}y_{1}-l_{42}y_{2}-l_{43}y_{3}}{l_{44}} =30-1\cdot8-1\cdot6-3\cdot5=1. \end{aligned}
Note que a última divisão é por l_{44}=1, então y_{4}=1. Logo
y=\begin{pmatrix}8\\[4pt]6\\[4pt]5\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora resolver L^{T}x=y por substituição retroativa (back substitution). As equações (da última para a primeira) são:
\begin{aligned} x_{4}&=\frac{y_{4}}{l_{44}}=\frac{1}{1}=1,\\[4pt] x_{3}&=\frac{y_{3}-l_{43}x_{4}}{l_{33}}=\frac{5-3\cdot1}{2}=\frac{2}{2}=1,\\[4pt] x_{2}&=\frac{y_{2}-l_{32}x_{3}-l_{42}x_{4}}{l_{22}}=\frac{6-2\cdot1-1\cdot1}{3}=\frac{3}{3}=1,\\[4pt] x_{1}&=\frac{y_{1}-l_{21}x_{2}-l_{31}x_{3}-l_{41}x_{4}}{l_{11}} =\frac{8-1\cdot1-2\cdot1-1\cdot1}{4}=\frac{4}{4}=1. \end{aligned}
Portanto a solução do sistema (a) é
x^{(a)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 9

Agora o sistema (b). Vou usar a variante LDL^{T} (fatoração do tipo A=L\,D\,L^{T} com L triangular inferior com diagonal igual a 1 e D diagonal). Motivo: é uma forma de Cholesky que evita extrair raízes intermediárias e preserva frações racionais durante o cálculo, o que facilita contas exatas à mão. O procedimento é equivalente em espírito ao Cholesky e é perfeitamente válido quando A é simétrica definida positiva.
As fórmulas (L com diagonal 1):
  • d_{1}=a_{11}, l_{i1}=a_{i1}/d_{1} para i>1.
  • Para passo k:
d_{k}=a_{kk}-\sum_{j=1}^{k-1} l_{kj}^{2}d_{j}, \qquad l_{ik}=\frac{1}{d_{k}}\Big(a_{ik}-\sum_{j=1}^{k-1} l_{ij}l_{kj}d_{j}\Big), \quad i>k.

Passo 10

Aplicando LDL^{T} ao A^{(b)}.
Passo k=1:
d_{1}=a_{11}=20,\qquad l_{21}=\frac{7}{20},\qquad l_{31}=\frac{9}{20}.
Passo k=2:
d_{2}=a_{22}-l_{21}^{2}d_{1}=30-\left(\frac{7}{20}\right)^{2}\cdot20 =30-\frac{49}{20}=\frac{551}{20}.
E
l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}l_{21}d_{1}}{d_{2}} =\frac{8-\frac{9}{20}\cdot\frac{7}{20}\cdot20}{551/20} =\frac{8-\frac{63}{20}}{551/20}=\frac{97/20}{551/20}=\frac{97}{551}.
Passo k=3:
d_{3}=a_{33}-l_{31}^{2}d_{1}-l_{32}^{2}d_{2}.
Calculemos as parcelas:
l_{31}^{2}d_{1}=\left(\frac{9}{20}\right)^{2}\cdot20=\frac{81}{20}, \qquad l_{32}^{2}d_{2}=\left(\frac{97}{551}\right)^{2}\cdot\frac{551}{20}=\frac{9409}{11020}.
Assim
d_{3}=30-\frac{81}{20}-\frac{9409}{11020}=\frac{276560}{11020}=\frac{13828}{551}.
Portanto
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \frac{7}{20} & 1 & 0\\[4pt] \frac{9}{20} & \frac{97}{551} & 1 \end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}\!\Big(20,\frac{551}{20},\frac{13828}{551}\Big).]

Passo 11

Resolver A^{(b)}x=b^{(b)} usando A=L D L^{T}.
  1. Resolver L\,v=b^{(b)} (forward):
\begin{aligned} v_{1}&=b_{1}=16,\\[4pt] v_{2}&=b_{2}-l_{21}v_{1}=38-\frac{7}{20}\cdot16=38-\frac{112}{20}=38-5{,}6=\frac{162}{5},\\[4pt] v_{3}&=b_{3}-l_{31}v_{1}-l_{32}v_{2} =38-\frac{9}{20}\cdot16-\frac{97}{551}\cdot\frac{162}{5} =\frac{69140}{2755}=\frac{13828}{551}. \end{aligned}
(Explicitação: 38-\frac{9}{20}\cdot16=38-\frac{144}{20}=38-7{,}2=\frac{154}{5}; então v_{3}=\frac{154}{5}-\frac{97}{551}\cdot\frac{162}{5}=\frac{69140}{2755}=\frac{13828}{551}.)
  1. Resolver D\,w=v (dividir por cada d_{i}):
w_{1}=\frac{v_{1}}{d_{1}}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5},\qquad w_{2}=\frac{v_{2}}{d_{2}}=\frac{\frac{162}{5}}{\frac{551}{20}}=\frac{162}{5}\cdot\frac{20}{551}=\frac{648}{551},
w_{3}=\frac{v_{3}}{d_{3}}=\frac{\frac{13828}{551}}{\frac{13828}{551}}=1.
  1. Resolver L^{T}x=w (back substitution). Escrevendo as equações:
\begin{aligned} x_{3}&=w_{3}=1,\\[4pt] x_{2}&=w_{2}-\frac{97}{551}x_{3}=\frac{648}{551}-\frac{97}{551}=\frac{551}{551}=1,\\[4pt] x_{1}&=w_{1}-\frac{7}{20}x_{2}-\frac{9}{20}x_{3} =\frac{4}{5}-\frac{7}{20}-\frac{9}{20} =\frac{4}{5}-\frac{16}{20}=0. \end{aligned}
Portanto a solução do sistema (b) é
x^{(b)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

a) \,(1,1,1,1)
b) \,(0,1,1)

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