Identifique a existência de raízes das funções em intervalos (Obs.: Considerar o método de tabelas com x variando de 1 a 5)
f(x)=e^-x-ln x

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Identifique a existência de raízes da função
f(x)=e^-x-ln x
em intervalos, usando o método de tabelas com variando de 1 a 5.”
Isso faz parte do conteúdo de Equações e Funções – especificamente usamos o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
O que vamos precisar:
1. Saber que é contínua para .
2. Entender que, se e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em .
3. Calcular para .

Passo 2

Antes de tudo, lembra do Teorema do Valor Intermediário (TVI):
Se é contínua num intervalo e , então há pelo menos uma raiz em .
Nossa é contínua para , então podemos usar o TVI nos subintervalos , etc.

Passo 3

Bora montar a tabela com os valores de f(x)=e^-x-ln x :
Para cada inteiro f(1)=e^-1-ln1=tfrac1e-0approx0,3679>0 de 1 a 5, calculemos
f(2)=e^-2-ln2approx0,1353-0,6931=-0,5578<0
  1. f(3)=e^-3-ln3approx0,0498-1,0986=-1,0488<0 :
f(4)=e^-4-ln4approx0,0183-1,3863=-1,3680<0
  1. f(5)=e^-5-ln5approx0,0067-1,6094=-1,6027<0 :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora olha os sinais em cada intervalo:
  • Entre e : e → sinal trocado → tem raiz em .
  • Entre e : e (ambos negativos) → sem raiz.
  • Entre e : dois valores negativos → sem raiz.
  • Entre e : dois valores negativos → sem raiz.

Resposta

Usando o método de tabelas e o Teorema do Valor Intermediário, concluímos que existe exatamente uma raiz de
f(x)=e^-x-ln x
no intervalo .

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