Identifique a existência de raízes das funções em intervalos (Obs.: Considerar o método de tabelas com x variando de 1 a 5)
f(x)=5 cos x+x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma resumida primeiro. A função que temos é
.
O conteúdo aqui é achar raízes (onde ) usando o método de tabela e o Teorema do Valor Intermediário, que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo , ela tem pelo menos uma raiz ali dentro. Como o enunciado manda, a gente vai variar de 1 a 5 em passos inteiros e olhar o sinal de .

Passo 2

Teoria rapidinha:
  1. A função é contínua em todo lugar.
  2. Se em tivermos , rolou uma mudança de sinal e, pela continuação, tem raiz em .
    Então a gente só precisa montar uma tabelinha de e de 1 a 5 e ver onde o produto de dois vizinhos fica negativo.

Passo 3

Agora, vamos calcular rapidinho cada valor aproximado (em radianos):
  • Para f(1)=5cos(1)+1 approx 5cdot0.5403 + 1 = 2.7015 + 1 = 3.7015 :
    f(2)=5cos(2)+2 approx 5cdot(-0.4161) + 2 = -2.0805 + 2 = -0.0805 f(3)=5cos(3)+3 approx 5cdot(-0.9899) + 3 = -4.9495 + 3 = -1.9495
  • Para f(4)=5cos(4)+4 approx 5cdot(-0.6536) + 4 = -3.2680 + 4 = 0.7320 :
    f(5)=5cos(5)+5 approx 5cdot0.2837 + 5 = 1.4185 + 5 = 6.4185
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora vamos olhar onde mudou de sinal:
  • Entre e : e . Mudou de positivo pra negativo → raiz em .
  • Entre e : pra , sem mudança de sinal → nada.
  • Entre e : e . Mudou de negativo pra positivo → raiz em .
  • Entre e : pra , sem mudança → nada.

Resposta

Existem pelo menos duas raízes de no intervalo de de 1 a 5:
  • Uma raiz em
  • Outra raiz em

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