Determine o polinômio interpolador da função f(x)=x^3+3 x^2-1 sobre três pontos: x0=0, x1=1 / 2, x2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra achar o polinômio interpolador de grau 2 da função
f(x)=x^3+3x^2-1
nos pontos
x0=0, x1=tfrac12, x2=1
Conteúdo envolvido: interpolação polinomial (fórmula de Lagrange). Vamos precisar calcular as imagens f(xi), montar os polinômios base elli(x) e depois somar tudo pra achar P2(x).

Passo 2

Primeiro, calcula as imagens:
  • f(0)=0^3+3cdot0^2-1=-1.
  • f(tfrac12)=(tfrac12)^3+3(tfrac12)^2-1=tfrac18+tfrac34-1=-tfrac18.
  • f(1)=1^3+3cdot1^2-1=3.
Então a gente tem os pares (xi,fi) = (0,-1), (tfrac12,-tfrac18), (1,3).

Passo 3

A fórmula de Lagrange para grau 2 é
P2(x)=sumi=0^2 f(xi),elli(x),
com
elli(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x-xjxi-xj
Isso garante que elli(xj)=de (1 se i=j, 0 caso contrário).

Passo 4

Agora a gente monta cada elli(x):
  1. Para i=0 ( x0=0):
ell0(x)=(x-tfrac12)(x-1)(0-tfrac12)(0-1) =(x-tfrac12)(x-1)(-tfrac12)(-1) =2,(x-tfrac12)(x-1)
  1. Para i=1 ( x1=tfrac12):
ell1(x)=(x-0)(x-1)(tfrac12-0)(tfrac12-1) =x(x-1)(tfrac12)(-tfrac12) =-4,x(x-1)
  1. Para i=2 ( x2=1):
ell2(x)=(x-0)(x-tfrac12)(1-0)(1-tfrac12) =x(x-tfrac12)1cdottfrac12 =2,x(x-tfrac12)

Passo 5

Agora monta P2(x)=f0ell0+f1ell1+f2ell2:
P2(x) = (-1)cdot2(x-tfrac12)(x-1);+;(-tfrac18)cdot[-4,x(x-1)];+;3cdot2,x(x-tfrac12)
Vamos simplificar cada termo:
- (-1)cdot2(x-tfrac12)(x-1)=-2l(x^2-tfrac32x+tfrac12r)=-2x^2+3x-1
- (-tfrac18)(-4,x(x-1))=tfrac12,x(x-1)=tfrac12x^2-tfrac12x
- 3cdot2,x(x-tfrac12)=6x^2-3x
Somando tudo:
$$P_2(x)=(-2x2+3x-1)+\Bigl(\tfrac12x2-\tfrac12x\Bigr)+(6x^2-3x)
=\tfrac{9}{2}x^2-\tfrac12x-1.$$

Resposta

boxedP2(x)=92,x^2-12,x-1

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