Determine o polinômio interpolador da função
sobre três pontos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado pede pra achar o polinômio interpolador de grau 2 da função
nos pontos
Conteúdo envolvido: interpolação polinomial (fórmula de Lagrange). Vamos precisar calcular as imagens
, montar os polinômios base
e depois somar tudo pra achar
.
Passo 2
Primeiro, calcula as imagens:
-
. -
. -
.
Então a gente tem os pares
=
,
,
.
Passo 3
A fórmula de Lagrange para grau 2 é
com
Isso garante que
(1 se
, 0 caso contrário).
Passo 4
Agora a gente monta cada
:
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
Passo 5
Agora monta
:
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
Somando tudo:
$$P_2(x)=(-2x2+3x-1)+\Bigl(\tfrac12x2-\tfrac12x\Bigr)+(6x^2-3x)
=\tfrac{9}{2}x^2-\tfrac12x-1.$$