Utilize a fatoração/decomposição L U(L y=b e Ux=y) para resolver o sistema linear a seguir:
cccc x & +2 y+z & = & 12 x & -3 y+5 z & = & 1 2 x & -y+3 z & = & 10

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem o sistema
e precisa resolver ele usando fatoração LU (ou seja, achar x + 2y + z = 12, x - 3y + 5z = 1, 2x - y + 3z = 10, , depois resolver A=LU e Ly=b).
Conteúdo: método de eliminação de Gauss para decompor uma matriz em Ux=y (triangular inferior com 1 na diagonal) e L (triangular superior), e depois usar substituições “para a frente” e “para trás”. Vamos precisar entender como escolher os multiplicadores e como montar as matrizes U e L.

Passo 2

Construção de L e U via eliminação de Gauss sem troca de linhas:
Seja
A= 1 & 2 & 1 1 & -3 & 5 2 & -1 & 3 , b=12110
  1. Para zerar abaixo de a11=1 na coluna 1, usamos
    $$\ell_{21}=\frac{a_{21}}{a_{11}}=\frac{1}{1}=1,\quad
    \ell_{31}=\frac{a_{31}}{a_{11}}=\frac{2}{1}=2.$$
    Então:
    - Nova linha 2 = linha 2 – 1·linha 1 ⇒ ell21=a21a11=11=1, ell31=a31a11=21=2
    - Nova linha 3 = linha 3 – 2·linha 1 ⇒ (0,,-5,,4)
  2. Agora, para zerar abaixo de (0,,-5,,1), na linha 3:
    u22=-5
    - Linha 3 ← linha 3 – 1·linha 2 ⇒ ell32=u32u22=-5-5=1
No fim:
(0,,0,,-3)

Passo 3

Resolver Ly=b por substituição para a frente:
y1 = b1 = 12, 1cdot y1 + 1cdot y2 = b2 ;Longrightarrow; y2 = 1 - 12 = -11, 2cdot y1 + 1cdot y2 + 1cdot y3 = b3 ;Longrightarrow; y3 = 10 - (24 - 11)= -3
Logo, y=(12,,-11,,-3)^T.

Passo 4

Resolver Ux=y por substituição para trás:
-3,z = y3 = -3 ;Longrightarrow; z=1, -5,y + 4,z = y2 = -11 ;Longrightarrow; -5y +4 = -11;Longrightarrow; y=3, x +2y + z = y1 = 12 ;Longrightarrow; x +6 +1 =12;Longrightarrow; x=5

Resposta

(x,y,z) = (5,,3,,1)

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