(USA - Adaptada) O número de pares ordenados (a,b) com \mathbf{a} e \mathbf{b} reais que satisfaz a equação (\mathbf{a}+\mathbf{b i})^{2020}=\mathbf{a}- bi com \mathrm{i}=\sqrt{-1} é igual a:
A) 2020
B) 2021
C) 2022
D) 2023
E) 2024

Passo 1

O enunciado pede: contar o número de pares ordenados (a,b) com a e b reais que satisfazem a equação
(a+b\mathrm{i})^{2020}=a-b\mathrm{i},
onde \mathrm{i}=\sqrt{-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável complexa natural a considerar é z=a+b\mathrm{i}.
  • O membro direito a-b\mathrm{i} é exatamente o conjugado de z, ou seja \overline{z}.
  • A equação pode ser reescrita como
z^{2020}=\overline{z}.
O que precisamos encontrar: quantos complexos z=a+b\mathrm{i} (equivalente a quantos pares reais (a,b)) satisfazem a igualdade acima.

Passo 2

Transformar o problema para trabalhar com módulo e argumento de números complexos — esse é um caminho natural quando aparecem potências de números complexos.
Definir z em forma polar. Para qualquer z escrevemos
z=r e^{\mathrm{i}\theta},
onde:
  • r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} é o módulo de z (tem r\ge 0);
  • \theta é o argumento de z, um ângulo real determinado módulo 2\pi.
O conjugado de z em forma polar é
\overline{z}=r e^{-\mathrm{i}\theta}.
Substituindo na equação z^{2020}=\overline{z} obtemos
(r e^{\mathrm{i}\theta})^{2020}=r e^{-\mathrm{i}\theta}.

Passo 3

Aplicar as propriedades de potência em forma polar. Como (r e^{\mathrm{i}\theta})^{2020}=r^{2020} e^{\mathrm{i}\,2020\theta}, a equação vira
r^{2020} e^{\mathrm{i}\,2020\theta}=r e^{-\mathrm{i}\theta}.
Agora usamos que igualdade entre números complexos exige igualdade de módulos e igualdade de argumentos (módulo 2\pi).
Igualdade de módulos:
r^{2020}=r.
Igualdade de argumentos (considerando a parte exponencial):
2020\theta \equiv -\theta \pmod{2\pi},
ou seja
2021\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}.

Passo 4

Resolver a equação dos módulos r^{2020}=r. Isso é uma equação real para r\ge 0. Colocando tudo numa forma mais simples:
r^{2020}-r=0\quad\Rightarrow\quad r(r^{2019}-1)=0.
Logo as soluções são:
  • r=0, ou
  • r^{2019}=1. Como r\ge 0, a única solução real é r=1.
Portanto existem apenas duas possibilidades para o módulo: r=0 e r=1.

Passo 5

Tratar separadamente cada caso.
Caso 1: r=0. Então z=0, que corresponde ao par (a,b)=(0,0). Verificação rápida: 0^{2020}=0 e \overline{0}=0, logo z=0 satisfaz. Isso dá 1 solução.
Caso 2: r=1. Para r=1 a condição de módulos já está satisfeita, resta resolver a condição de argumentos:
2021\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}.
Isto significa que
\theta = \frac{2\pi k}{2021},
para algum inteiro k. Valores de k que geram argumentos distintos no intervalo [0,2\pi) são k=0,1,2,\dots,2020, totalizando 2021 valores distintos de \theta. Para cada \theta desse tipo, com r=1, obtemos um único z=e^{\mathrm{i}\theta} e, portanto, um único par real (a,b)=(\cos\theta,\sin\theta).

Passo 6

Contagem final: somamos as soluções dos dois casos:
  • 1 solução com r=0 (o par (0,0));
  • 2021 soluções com r=1 (os 2021 vértices uniformemente espaçados na circunferência unitária).
Total de pares ordenados (a,b) que satisfazem a equação:
1 + 2021 = 2022.

Resposta

2022

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