(USA - Adaptada) O número de pares ordenados (a,b) com
e
reais que satisfaz a equação
bi com
é igual a:
A) 2020
B) 2021
C) 2022
D) 2023
E) 2024
A) 2020
B) 2021
C) 2022
D) 2023
E) 2024
Passo 1
O enunciado pede: contar o número de pares ordenados
com
e
reais que satisfazem a equação
onde
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável complexa natural a considerar é
. - O membro direito
é exatamente o conjugado de , ou seja . - A equação pode ser reescrita como
O que precisamos encontrar: quantos complexos
(equivalente a quantos pares reais
) satisfazem a igualdade acima.
Passo 2
Transformar o problema para trabalhar com módulo e argumento de números complexos — esse é um caminho natural quando aparecem potências de números complexos.
Definir
em forma polar. Para qualquer
escrevemos
onde:
-
é o módulo de (tem ); -
é o argumento de , um ângulo real determinado módulo .
O conjugado de
em forma polar é
Substituindo na equação
obtemos
Passo 3
Aplicar as propriedades de potência em forma polar. Como
, a equação vira
Agora usamos que igualdade entre números complexos exige igualdade de módulos e igualdade de argumentos (módulo
).
Igualdade de módulos:
Igualdade de argumentos (considerando a parte exponencial):
ou seja
Passo 4
Resolver a equação dos módulos
. Isso é uma equação real para
. Colocando tudo numa forma mais simples:
Logo as soluções são:
-
, ou -
. Como , a única solução real é .
Portanto existem apenas duas possibilidades para o módulo:
e
.
Passo 5
Tratar separadamente cada caso.
Caso 1:
. Então
, que corresponde ao par
. Verificação rápida:
e
, logo
satisfaz. Isso dá 1 solução.
Caso 2:
. Para
a condição de módulos já está satisfeita, resta resolver a condição de argumentos:
Isto significa que
para algum inteiro
. Valores de
que geram argumentos distintos no intervalo
são
, totalizando
valores distintos de
. Para cada
desse tipo, com
, obtemos um único
e, portanto, um único par real
.
Passo 6
Contagem final: somamos as soluções dos dois casos:
- 1 solução com
(o par ); - 2021 soluções com
(os vértices uniformemente espaçados na circunferência unitária).
Total de pares ordenados
que satisfazem a equação:
Resposta
2022