(Peru - Adaptada) Se |z+w|=|z-w| \forall z, w \in \mathbb{C}. Então o valor de \operatorname{Re}(z \cdot \bar{w}) é iqual a:
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
|z+w| = |z-w|
para (aparentemente) os números complexos z e w. A pergunta é: qual é o valor de \operatorname{Re}(z\cdot\bar{w})?
Informações relevantes que temos do enunciado:
z e w são complexos (podem ser quaisquer complexos, ou pelo menos um par fixo que satisfaz a igualdade).
A relação envolve módulos (normas) de somas e diferenças de complexos.
Passo 2
Primeiro passo técnico: elevar ambos os lados ao quadrado (módulo é não negativo, então isso é válido e simplifica a álgebra). Obtemos
|z+w|^2 = |z-w|^2.
Lembrando a identidade fundamental para módulo ao quadrado: para qualquer complexo u vale |u|^2 = u\overline{u}. Vamos aplicar isso aos dois lados.
Passo 3
Calculemos cada lado usando a propriedade |u|^2 = u\overline{u}.
Interpretação rápida e intuitiva: a parte real do produto z\bar{w} é o produto escalar entre os vetores correspondentes a z e w no plano; a condição |z+w|=|z-w| indica que esses vetores são ortogonais, daí a parte real (produto escalar) ser zero. Um exemplo concreto para checar: z=1, w=i dá z\bar{w}=1\cdot(-i)=-i com parte real igual a 0, e de fato |1+i|=|1-i|=\sqrt{2}.