(Peru - Adaptada) Se |z+w|=|z-w| \forall z, w \in \mathbb{C}. Então o valor de \operatorname{Re}(z \cdot \bar{w}) é iqual a:

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
|z+w| = |z-w|
para (aparentemente) os números complexos z e w. A pergunta é: qual é o valor de \operatorname{Re}(z\cdot\bar{w})?
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • z e w são complexos (podem ser quaisquer complexos, ou pelo menos um par fixo que satisfaz a igualdade).
  • A relação envolve módulos (normas) de somas e diferenças de complexos.

Passo 2

Primeiro passo técnico: elevar ambos os lados ao quadrado (módulo é não negativo, então isso é válido e simplifica a álgebra). Obtemos
|z+w|^2 = |z-w|^2.
Lembrando a identidade fundamental para módulo ao quadrado: para qualquer complexo u vale |u|^2 = u\overline{u}. Vamos aplicar isso aos dois lados.

Passo 3

Calculemos cada lado usando a propriedade |u|^2 = u\overline{u}.
Para o lado esquerdo:
|z+w|^2 = (z+w)\overline{(z+w)} = (z+w)(\bar{z}+\bar{w}).
Fazendo a multiplicação:
(z+w)(\bar{z}+\bar{w}) = z\bar{z} + z\bar{w} + w\bar{z} + w\bar{w}.
Para o lado direito:
|z-w|^2 = (z-w)\overline{(z-w)} = (z-w)(\bar{z}-\bar{w})
e multiplicando:
(z-w)(\bar{z}-\bar{w}) = z\bar{z} - z\bar{w} - w\bar{z} + w\bar{w}.

Passo 4

Agora igualamos os dois resultados (porque |z+w|^2 = |z-w|^2):
z\bar{z} + z\bar{w} + w\bar{z} + w\bar{w} = z\bar{z} - z\bar{w} - w\bar{z} + w\bar{w}.
Cancelando os termos comuns z\bar{z} e w\bar{w} em ambos os lados, fica:
z\bar{w} + w\bar{z} = -\,z\bar{w} - w\bar{z}.
Somando z\bar{w} + w\bar{z} aos dois lados obtemos
2\bigl(z\bar{w} + w\bar{z}\bigr) = 0,
ou seja
z\bar{w} + w\bar{z} = 0.

Passo 5

Agora lembre-se da definição de parte real: para qualquer complexo u,
\operatorname{Re}(u) = \frac{u+\bar{u}}{2}.
Aplicando isso a u = z\bar{w} temos
2\operatorname{Re}(z\bar{w}) = z\bar{w} + \overline{z\bar{w}}.
Mas \overline{z\bar{w}} = \bar{z}w = w\bar{z}. Logo
z\bar{w} + w\bar{z} = 2\operatorname{Re}(z\bar{w}).
Da igualdade encontrada no Passo 4 segue então
2\operatorname{Re}(z\bar{w}) = 0.

Passo 6

Dividindo por 2 obtemos a conclusão desejada:
\operatorname{Re}(z\bar{w}) = 0.
Interpretação rápida e intuitiva: a parte real do produto z\bar{w} é o produto escalar entre os vetores correspondentes a z e w no plano; a condição |z+w|=|z-w| indica que esses vetores são ortogonais, daí a parte real (produto escalar) ser zero. Um exemplo concreto para checar: z=1, w=i z\bar{w}=1\cdot(-i)=-i com parte real igual a 0, e de fato |1+i|=|1-i|=\sqrt{2}.

Resposta

\,0\,

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