Indique, quais das seguintes aplicações é um homomorfismo e, em cada caso afirmativo, determine o núcleo:
f:(R^*, cdot) (R^*, cdot), definida por f(x):=x^-1

Passo 1

O enunciado define fcolon(R^*,cdot)to(R^*,cdot) por
f(x)=x^-1
O conteúdo aqui é homomorfismo de grupos: precisamos verificar se
f(xy)=f(x),f(y)
para todo x,y, e depois determinar
ker(f)=xinR^*mid f(x)=1.

Passo 2

Para quaisquer x,yinR^* vale
f(xy)=(xy)^-1=y^-1x^-1
Como R^* é abeliano, trocando a ordem obtemos
y^-1x^-1=x^-1y^-1=f(x),f(y)
Logo
f(xy)=f(x),f(y),
ou seja, f é um homomorfismo de grupos.

Passo 3

O núcleo de f é
ker(f)=xinR^*mid f(x)=1 =xinR^*mid x^-1=1
Da igualdade x^-1=1 segue x=1. Portanto
ker(f)=1

Resposta

f é um homomorfismo e ker(f)=1.

Exercícios relacionados