Indique, quais das seguintes aplicações é um homomorfismo e, em cada caso afirmativo, determine o núcleo:
phi:(Z times Z,+) (Z,+), definida por phi(x, y):=x-2 y.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
phicolon (ZtimesZ,+)to(Z,+)
definida por
phi(x,y)=x-2y
Estamos em teoria de grupos abelianos e queremos (i) verificar se phi é homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, (ii) determinar o núcleo de phi.

Passo 2

Para mostrar que phi é homomorfismo, usamos a definição: phi preserva a operação se, para quaisquer (x1,y1),(x2,y2)inZ^2, vale
phil((x1,y1)+(x2,y2)r) =phi(x1+x2,;y1+y2) stackrel?= phi(x1,y1)+phi(x2,y2)

Passo 3

Calculemos diretamente:
phi(x1+x2,;y1+y2) =(x1+x2)-2(y1+y2) =(x1-2y1)+(x2-2y2) =phi(x1,y1)+phi(x2,y2)
Logo phi é um homomorfismo de grupos.

Passo 4

O núcleo de um homomorfismo phi é o conjunto
ker(phi) =(x,y)inZ^2midphi(x,y)=0
Aqui queremos phi(x,y)=x-2y=0.

Passo 5

Resolvendo x-2y=0 obtemos x=2y. Portanto
ker(phi) =(x,y)inZ^2mid x=2y =(2k,k)mid kinZ

Resposta

phi é um homomorfismo de grupos e
ker(phi)=(2k,k)mid kinZ

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