Indique, quais das seguintes aplicações é um homomorfismo e, em cada caso afirmativo, determine o núcleo:
, definida por
.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
definida por
definida por
Estamos em teoria de grupos abelianos e queremos (i) verificar se
é homomorfismo de grupos e, em caso afirmativo, (ii) determinar o núcleo de
.
Passo 2
Para mostrar que
é homomorfismo, usamos a definição:
preserva a operação se, para quaisquer
, vale
Passo 3
Calculemos diretamente:
Logo
é um homomorfismo de grupos.
Passo 4
O núcleo de um homomorfismo
é o conjunto
Aqui queremos
.
Passo 5
Resolvendo
obtemos
. Portanto