Indique, quais das seguintes aplicações é um homomorfismo e, em cada caso afirmativo, determine o núcleo:
psi:(R times R,+) (R,+), definida por psi(x):=x+1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
psi:(RtimesR,+)to(R,+)
definida por
psi(x,y)=x+1
é homomorfismo de grupos (com operação soma) e, em caso afirmativo, determinar o núcleo.
Para isso precisamos usar a definição de homomorfismo de grupos:
psi(u+v)=psi(u)+psi(v)epsi(0)=0

Passo 2

Verificamos a preservação da soma. Dados dois pares (x1,y1) e (x2,y2) em RtimesR, temos
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,,y1+y2)
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psil((x1,y1)+(x2,y2)r) =psi(x1+x2,,y1+y2) =(x1+x2)+1
Por outro lado,
psi(x1,y1)+psi(x2,y2) =(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2
Como
(x1+x2)+1neq x1+x2+2
a igualdade psi(u+v)=psi(u)+psi(v) não vale em geral.

Passo 3

Além disso, um homomorfismo deve enviar o elemento neutro do domínio no elemento neutro do contradomínio. Aqui o neutro de RtimesR é (0,0) e
psi(0,0)=0+1=1neq 0,
portanto falha também nesse requisito.

Resposta

psi não é homomorfismo de grupos e, por isso, não se define núcleo.

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