Indique, quais das seguintes aplicações é um homomorfismo e, em cada caso afirmativo, determine o núcleo:
, definida por
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
definida por
definida por
é homomorfismo de grupos (com operação soma) e, em caso afirmativo, determinar o núcleo.
Para isso precisamos usar a definição de homomorfismo de grupos:
Para isso precisamos usar a definição de homomorfismo de grupos:
Passo 2
Verificamos a preservação da soma. Dados dois pares
e
em
, temos
Logo
Por outro lado,
Como
a igualdade
não vale em geral.
Passo 3
Além disso, um homomorfismo deve enviar o elemento neutro do domínio no elemento neutro do contradomínio. Aqui o neutro de
é
e
portanto falha também nesse requisito.