(Instituto Tecnológico da Aeronáutica) O conjunto soluçāo da equação x^{7}+x+5=0 apresenta:
a) Apenas soluções complexas
b) Apenas soluções reais negativas
c) Três soluções reais negativas e quatro soluções complexas
d) Uma solução real positiva e seis soluções complexas
e) Uma solução real negativa e seis soluções complexas

Passo 1

O enunciado dá a equação x^{7}+x+5=0 e pergunta qual das alternativas descreve o conjunto solução. Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é definida pelo polinômio f(x)=x^{7}+x+5.
  • As alternativas descrevem quantas soluções reais/complexas existem e o sinal das reais (se houver).
    O que é pedido: identificar quantas raízes reais existem (e seu sinal) e, consequentemente, quantas raízes complexas aparecem.

Passo 2

Mostrar que existe pelo menos uma raiz real (intuição e técnica básica).
Seja f(x)=x^{7}+x+5. Polinômios são funções contínuas em \mathbb{R}. Observe os limites nas extremidades:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.
Como f é contínua e os limites têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c\in\mathbb{R} tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, há pelo menos uma raiz real.

Passo 3

Mostrar unicidade da raiz real usando monotonicidade (derivada).
Calcule a derivada:
f'(x)=7x^{6}+1.
Como x^{6}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, tem-se 7x^{6}\ge 0 e, portanto,
f'(x)=7x^{6}+1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Isto significa que f é estritamente crescente em toda a reta real. Uma função estritamente crescente pode zerar em no máximo um ponto: se tivesse duas raízes a<b com f(a)=f(b)=0, a monotonicidade seria violada (não poderia subir e depois voltar a 0). Logo, a raiz real é única.

Passo 4

Determinar o sinal dessa única raiz real.
Avalie f em pontos simples para localizar a raiz:
f(0)=0^{7}+0+5=5>0, \qquad f(-2)=(-2)^{7}+(-2)+5=-128-2+5=-125<0.
Como f(-2)<0 e f(0)>0, e f é contínua, a única raiz real está no intervalo (-2,0), portanto é negativa. Além disso, para x\ge 0 tem-se f(x)=x^{7}+x+5\ge 5>0, confirmando que não há raízes positivas.

Passo 5

Contar as demais raízes (teorema fundamental da álgebra e conjugados).
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o polinômio de grau 7 tem exatamente 7 raízes no corpo complexo, contando multiplicidades. Já mostramos que há exatamente uma raiz real. Como os coeficientes são reais, as raízes complexas não reais aparecem em pares conjugados, portanto o número de raízes complexas não reais é par; aqui serão 7-1=6 raízes complexas (três pares conjugados). Conclusão: uma única raiz real, que é negativa, e seis raízes complexas não reais.

Resposta

e) Uma solução real negativa e 6 soluções complexas.

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