(Instituto Tecnológico da Aeronáutica) O conjunto soluçāo da equação
apresenta:
a) Apenas soluções complexas
b) Apenas soluções reais negativas
c) Três soluções reais negativas e quatro soluções complexas
d) Uma solução real positiva e seis soluções complexas
e) Uma solução real negativa e seis soluções complexas
a) Apenas soluções complexas
b) Apenas soluções reais negativas
c) Três soluções reais negativas e quatro soluções complexas
d) Uma solução real positiva e seis soluções complexas
e) Uma solução real negativa e seis soluções complexas
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pergunta qual das alternativas descreve o conjunto solução. Informações relevantes fornecidas:
- A equação é definida pelo polinômio
. - As alternativas descrevem quantas soluções reais/complexas existem e o sinal das reais (se houver).
O que é pedido: identificar quantas raízes reais existem (e seu sinal) e, consequentemente, quantas raízes complexas aparecem.
Passo 2
Mostrar que existe pelo menos uma raiz real (intuição e técnica básica).
Seja . Polinômios são funções contínuas em
. Observe os limites nas extremidades:
Seja
Como
é contínua e os limites têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
tal que
. Ou seja, há pelo menos uma raiz real.
Passo 3
Mostrar unicidade da raiz real usando monotonicidade (derivada).
Calcule a derivada:
Calcule a derivada:
Como
para todo
, tem-se
e, portanto,
Isto significa que
é estritamente crescente em toda a reta real. Uma função estritamente crescente pode zerar em no máximo um ponto: se tivesse duas raízes
com
, a monotonicidade seria violada (não poderia subir e depois voltar a 0). Logo, a raiz real é única.
Passo 4
Determinar o sinal dessa única raiz real.
Avalie em pontos simples para localizar a raiz:
Avalie
Como
e
, e
é contínua, a única raiz real está no intervalo
, portanto é negativa. Além disso, para
tem-se
, confirmando que não há raízes positivas.
Passo 5
Contar as demais raízes (teorema fundamental da álgebra e conjugados).
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o polinômio de grau tem exatamente
raízes no corpo complexo, contando multiplicidades. Já mostramos que há exatamente uma raiz real. Como os coeficientes são reais, as raízes complexas não reais aparecem em pares conjugados, portanto o número de raízes complexas não reais é par; aqui serão
raízes complexas (três pares conjugados). Conclusão: uma única raiz real, que é negativa, e seis raízes complexas não reais.
Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, o polinômio de grau
Resposta
e) Uma solução real negativa e
soluções complexas.