(Instituto Tecnológico da Aeronáutica) Seja
o conjunto de todas as raízes da equaçāo
. Podemos afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)n.d.a
a)
b)
c)
d)
e)n.d.a
Passo 1
O enunciado define o conjunto
como o conjunto de todas as raízes da equação
Pede-se verificar qual das alternativas a)–e) afirma corretamente um conjunto de intervalos que contém todas as raízes (isto é, verificar em qual alternativa
está contido).
Informações dadas:
- Polinômio:
. -
é o conjunto de todas as raízes reais desse polinômio. - As alternativas listam uniões de intervalos e queremos saber qual contém todas as raízes.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vou usar).
Uma boa tática para polinômios com coeficientes inteiros é:
Uma boa tática para polinômios com coeficientes inteiros é:
- testar raízes racionais possíveis pela Regra das Raízes Racionais (teorema do racional): qualquer raiz racional escrita em forma irreduzível
tem divisor do termo constante e divisor do coeficiente líder. - se encontrar uma raiz racional
, usar o Teorema do Fator para fatorar o polinômio por (ou múltiplos inteiros equivalentes) e reduzir o grau, ficando com um polinômio quadrático que se resolve por fórmula quadrática.
Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada coisa.
Passo 3
Aplicando a Regra das Raízes Racionais.
- O termo constante é
. Seus divisores são . - O coeficiente líder é
. Seus divisores são .
Assim as possíveis raízes racionais sãocom e . Exemplos simples a testar primeiro: .
Testes rápidos por substituição (avaliar o polinômio
):
-
(positivo). -
(negativo) → já mostra existência de uma raiz em . -
(positivo) → já mostra existência de uma raiz em . - Agora teste
: calcular
Calculando termo a termo:
Somando:
Portanto
. Conclusão:
é uma raiz exata.
Passo 4
Fatoração usando a raiz
.
Pelo Teorema do Fator, se é raiz, então
divide o polinômio. Para evitar frações, é conveniente usar o fator linear equivalente
.
Pelo Teorema do Fator, se
Procuro coeficientes
tais que
Multiplicando e comparando coeficientes:
Igualando com
obtemos o sistema
Resolvendo:
Logo a fatoração é
Passo 5
Resolver o quadrático
.
Uso a fórmula quadrática. Para as raízes são
Uso a fórmula quadrática. Para
onde
,
,
. Primeiro o discriminante:
Como
,
. Assim as raízes são
Calculando:
Passo 6
Conjunto de todas as raízes e verificação das alternativas.
As três raízes reais do polinômio são
As três raízes reais do polinômio são
Agora verificar em que intervalos cada raiz está:
-
está em . -
está em . -
está em .
Portanto
Resposta
a)