(Instituto Tecnológico da Aeronáutica) Seja S o conjunto de todas as raízes da equaçāo 12 x^{3}-16 x^{2}- 3 x+4=0. Podemos afirmar que:
a) S \subset]-1,0[\cup] 0,1[\cup] 1,2[
b) S \subset]-2,-1[\cup] 0,1[\cup] 3,4[
c) S \subset[0,4]
d) S \subset]-2,-1[\cup] 1,2[\cup] 3,4[
e)n.d.a

Passo 1

O enunciado define o conjunto S como o conjunto de todas as raízes da equação
12x^{3}-16x^{2}-3x+4=0.
Pede-se verificar qual das alternativas a)–e) afirma corretamente um conjunto de intervalos que contém todas as raízes (isto é, verificar em qual alternativa S está contido).
Informações dadas:
  • Polinômio: 12x^{3}-16x^{2}-3x+4.
  • S é o conjunto de todas as raízes reais desse polinômio.
  • As alternativas listam uniões de intervalos e queremos saber qual contém todas as raízes.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vou usar).
Uma boa tática para polinômios com coeficientes inteiros é:
  • testar raízes racionais possíveis pela Regra das Raízes Racionais (teorema do racional): qualquer raiz racional escrita em forma irreduzível \dfrac{p}{q} tem p divisor do termo constante e q divisor do coeficiente líder.
  • se encontrar uma raiz racional r, usar o Teorema do Fator para fatorar o polinômio por (x-r) (ou múltiplos inteiros equivalentes) e reduzir o grau, ficando com um polinômio quadrático que se resolve por fórmula quadrática.
Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada coisa.

Passo 3

Aplicando a Regra das Raízes Racionais.
  • O termo constante é 4. Seus divisores são \pm 1,\pm 2,\pm 4.
  • O coeficiente líder é 12. Seus divisores são 1,2,3,4,6,12.
    Assim as possíveis raízes racionais são \pm \dfrac{p}{q} com p\in\{1,2,4\} e q\in\{1,2,3,4,6,12\}. Exemplos simples a testar primeiro: \pm 1,\pm 2,\pm \tfrac{1}{2},\pm \tfrac{1}{3},\pm \tfrac{1}{4},\pm \tfrac{2}{3},\pm \tfrac{4}{3}.
Testes rápidos por substituição (avaliar o polinômio f(x)=12x^{3}-16x^{2}-3x+4):
  • f(0)=4 (positivo).
  • f(1)=12-16-3+4=-3 (negativo) → já mostra existência de uma raiz em (0,1).
  • f(2)=96-64-6+4=30 (positivo) → já mostra existência de uma raiz em (1,2).
  • Agora teste \,x=-\tfrac{1}{2}\,: calcular
f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=12\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}-16\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}-3\left(-\tfrac{1}{2}\right)+4.
Calculando termo a termo:
12\left(-\tfrac{1}{8}\right)=-\tfrac{12}{8}=-\tfrac{3}{2}, \qquad -16\left(\tfrac{1}{4}\right)=-4, \qquad -3\left(-\tfrac{1}{2}\right)=+\tfrac{3}{2}, \qquad +4=4.
Somando:
-\tfrac{3}{2}-4+\tfrac{3}{2}+4=0.
Portanto f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=0. Conclusão: x=-\tfrac{1}{2} é uma raiz exata.

Passo 4

Fatoração usando a raiz x=-\tfrac{1}{2}.
Pelo Teorema do Fator, se x=-\tfrac{1}{2} é raiz, então (x+\tfrac{1}{2}) divide o polinômio. Para evitar frações, é conveniente usar o fator linear equivalente 2x+1.
Procuro coeficientes A,B,C tais que
(2x+1)(Ax^{2}+Bx+C)=12x^{3}-16x^{2}-3x+4.
Multiplicando e comparando coeficientes:
(2x+1)(Ax^{2}+Bx+C)=2A x^{3}+(2B+A)x^{2}+(2C+B)x+C.
Igualando com 12x^{3}-16x^{2}-3x+4 obtemos o sistema
2A=12,\qquad 2B+A=-16,\qquad 2C+B=-3,\qquad C=4.
Resolvendo:
2A=12\Rightarrow A=6.
C=4 \quad(\text{já dado}).á
2B+A=-16 \Rightarrow 2B+6=-16 \Rightarrow 2B=-22 \Rightarrow B=-11.
2C+B=-3 \Rightarrow 2\cdot4+(-11)=-3 \quad(\text{confere}).
Logo a fatoração é
12x^{3}-16x^{2}-3x+4=(2x+1)(6x^{2}-11x+4).

Passo 5

Resolver o quadrático 6x^{2}-11x+4=0.
Uso a fórmula quadrática. Para ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=6, b=-11, c=4. Primeiro o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-11)^{2}-4\cdot 6\cdot 4 =121-96=25.
Como \Delta=25, \sqrt{\Delta}=5. Assim as raízes são
x=\frac{11\pm 5}{12}.
Calculando:
x=\frac{11-5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}, \qquad x=\frac{11+5}{12}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Conjunto de todas as raízes e verificação das alternativas.
As três raízes reais do polinômio são
S=\left\{-\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\ \tfrac{4}{3}\right\}.
Agora verificar em que intervalos cada raiz está:
  • -\tfrac{1}{2} está em (-1,0).
  • \tfrac{1}{2} está em (0,1).
  • \tfrac{4}{3} está em (1,2).
Portanto
S\subset (-1,0)\cup(0,1)\cup(1,2).

Resposta

a)

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