4 Uma dívida tem o seguinte esquema de pagamento: \ 3.900,00 vencíveis em 3 meses a partir de hoje e \í 11.700,00 de hoje a 5 meses. O devedor propõe ao credor refinanciar esta dívida mediante 5 pagamentos bimestrais, iguais e sucessivos, vencendo o primeiro de hoje a um mês. Sendo de 2,1 \% ao mês a taxa de juros da dívida original e de 3,0 \% ao mês a taxa a ser considerada no refinanciamento, pede-se determinar o valor de cada pagamento bimestral.

Passo 1

O enunciado dá uma dívida com dois pagamentos originais: \$3.900 vencíveis em 3 meses e \$11.700 vencíveis em 5 meses. A taxa original é de 2{,}1\% ao mês. Propõe-se refinanciar tudo em 5 pagamentos bimestrais iguais de valor X, vencendo o primeiro em 1 mês e os seguintes a cada 2 meses (isto é, nos meses 1, 3, 5, 7 e 9), à taxa de 3{,}0\% ao mês. Para encontrar X, vamos igualar o valor presente (em t=0) da dívida antiga ao valor presente dos 5 novos pagamentos, ambos descontados às suas respectivas taxas.

Passo 2

Calcular o valor presente dos dois pagamentos originais à taxa de 2{,}1\% ao mês. Usamos a fórmula do valor presente de um pagamento futuro:
PV = \frac{\text{valor futuro}}{(1+i)^n}.
Para o primeiro pagamento:
PV_1 = \frac{3\,900}{(1{,}021)^3}.
Para o segundo:
PV_2 = \frac{11\,700}{(1{,}021)^5}.

Passo 3

Somar esses valores presentes para obter o total da dívida hoje:
PV_{\text{orig}} = PV_1 + PV_2 = \frac{3\,900}{(1{,}021)^3} \;+\;\frac{11\,700}{(1{,}021)^5}.
Numericamente,
PV_{\text{orig}}\approx \frac{3\,900}{1{,}064332} + \frac{11\,700}{1{,}109503} \approx 3\,664{,}66 + 10\,546{,}94 = 14\,211{,}60.

Passo 4

Expressar o valor presente dos 5 pagamentos refinanciados de valor X à taxa de 3{,}0\% ao mês. Cada pagamento em t=k meses vale hoje
\displaystyle X/(1{,}03)^k. Como os vencimentos são em k=1,3,5,7,9, temos
PV_{\text{novo}} = X\biggl[\frac{1}{(1{,}03)^1} + \frac{1}{(1{,}03)^3} + \frac{1}{(1{,}03)^5} + \frac{1}{(1{,}03)^7} + \frac{1}{(1{,}03)^9}\biggr].
Calculando essa soma de fatores de desconto,
\sum_{j=0}^{4}\frac{1}{(1{,}03)^{\,1+2j}} \approx 0{,}970874 + 0{,}915141 + 0{,}862652 + 0{,}813590 + 0{,}767052 = 4{,}329308.

Passo 5

Igualar os valores presentes e resolver para X:
PV_{\text{orig}} \;=\; PV_{\text{novo}} \quad\Longrightarrow\quad 14\,211{,}60 = X \times 4{,}329308 \quad\Longrightarrow\quad X = \frac{14\,211{,}60}{4{,}329308} \approx 3\,280{,}82.

Resposta

Cada pagamento bimestral deverá ser de aproximadamente \$3\,280{,}82.

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