Para as integrais a seguir, calcule uma aproximação pelas regras do Trapézio e 1 / 3 de Simpson, usando quatro divisões de a, b. Obtenha um limitante superior para o erro cometido em cada caso. Qual o número mínimo de intervalos necessários para que a aproximação tenha precisão de 6 casas decimais?
integral0^2 exp (x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral0^2 e^x,dx
pelas regras do Trapézio e de 1/3 de Simpson usando n=4 subdivisões uniformes em [0,2], obter um limitante superior para o erro em cada caso e, por fim, determinar o número mínimo de subintervalos que garanta precisão de 6 casas decimais (erro absoluto menor que 5times10^-7).

Passo 2

Para n=4 temos
h=b-an=2-04=0,5,
e os nós
xi=0,,0,5,,1,0,,1,5,,2,0,
com
f(xi)=e^xi=1,;e^0,5,;e^1,;e^1,5,;e^2
1. Regra do Trapézio:
T4=h2l[f(x0)+2sumi=1^3f(xi)+f(x4)r]
Substituindo numericamente:
T4 =0,25l[1 +2l(e^0,5+e^1+e^1,5r)+e^2r] approx6,521615
2. Regra de 1/3 de Simpson:
S4=h3l[f(x0)+4l(f(x1)+f(x3)r)+2f(x2)+f(x4)r]
Numericamente:
S4 approx0,1666667l[1 +4(e^0,5+e^1,5)+2e^1+e^2r] approx6,391210

Passo 3

As fórmulas de cota de erro em um único subintervalo são:
1. Trapézio, com f''(x)=e^x:
|ET| <= (b - a)^312,n^2max[0,2]|f''(x)| = 2^312,n^2,e^2 = 8,e^212,n^2 = 2,e^23,n^2
2. Simpson, com f''''(x)=e^x:
|ES| <= (b - a)^5180,n^4max[0,2]|f''''(x)| = 2^5180,n^4,e^2 = 32,e^2180,n^4 = 8,e^245,n^4

Passo 4

Substituindo n=4 nas cotas e comparando com o erro real (o valor exato é e^2-1approx6,389056):
1. Trapézio:
|ET| <= 2,e^23cdot4^2 = 2,e^248 = e^224 approx7,3890624 approx0,3079,
erro real approx|6,389056-6,521615|approx0,132559.
2. Simpson:
|ES| <= 8,e^245cdot4^4 = 8,e^245cdot256 = e^21440 approx7,389061440 approx0,00513,
erro real approx|6,389056-6,391210|approx0,002154.

Passo 5

Queremos erro menor que 5times10^-7.
1. Trapézio:
2,e^23,n^2<=5times10^-7 ;Longrightarrow; n^2>=2,e^23cdot5times10^-7 approx9,85times10^6 ;Longrightarrow; n>=3138
2. Simpson (precisa de n par):
8,e^245,n^4<=5times10^-7 ;Longrightarrow; n^4>=8,e^245cdot5times10^-7 approx2,63times10^6 ;Longrightarrow; n>=l(2,63times10^6r)^1/4approx40,3
O menor n par que satisfaz é n=42.

Resposta

Para n=4:
Trapézio T4approx 6,521615, cota de erro <= 0,3079.
Simpson S4approx 6,391210, cota de erro <= 0,00513.
Para erro <= 10^-6 ( 6 casas):
- Trapézio: n >= 3138.
- Simpson: n >= 42.

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