integral0^pi / 2(8+4 cos x) d x
a) Analiticamente.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral definida
integral0^pi/2 l(8 + 4cos xr),dx
Isso é cálculo de integrais definidas (teorema fundamental do cálculo), e a gente vai precisar saber:
  • Propriedade de linearidade da integral (soma vira soma de integrais e constante sai da integral)
  • As primitivas básicas: e

Passo 2

Primeiro, uso a linearidade pra separar:
integral0^pi/2 (8 + 4cos x),dx = integral0^pi/2 8,dx ;+;integral0^pi/2 4cos x,dx
Aqui expliquei que e que posso puxar a constante pra fora: , .

Passo 3

Agora, cada uma é fácil:
  • F(x) = 8x + 4sin x , então .
  • , então .
    Logo a primitiva geral é

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral de 0 a Fl(tfracpi2r) - F(0) é
Fl(tfracpi2r) = 8cdottfracpi2 + 4sin!l(tfracpi2r) = 4pi + 4cdot1 = 4pi + 4,
Calculo:
F(0) = 8cdot0 + 4sin(0) = 0
Então a integral vale .

Resposta

boxed4pi + 4

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