o. integral0^2 pi sen^7(x) cos ^5(x) d x

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é calcular
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, usando identidades (como ) e substituição (u-substituição). Vamos precisar:
  1. Reescrever a potência de integral0^2pi sen^7(x),cos^5(x),dx de modo a ter um sobrando;
  2. usar , daí ;
  3. avaliar os limites transformados.

Passo 2

Primeiro, separa um fator sen^7(x),cos^5(x) =sen^7(x),l(cos^4(x)r),cos(x) =sen^7(x),l(1-sen^2(x)r)^2,cos(x) e escreve o restante em função de :
Aí fica clarinho que dá pra usar .

Passo 3

Fazendo a substituição
os limites em u=sen(x), du=cos(x),dx, vão de u(0)=sen(0)=0, u(2pi)=sen(2pi)=0 a integral0^2pisen^7(x),(1-sen^2(x))^2,cos(x),dx =integralu=0^u=0u^7,(1-u^2)^2,du , e os correspondentes em são
Então a integral vira

Passo 4

Expande o polinômio:
u^7(1-u^2)^2 =u^7l(1 -2u^2+u^4r) =u^7 -2u^9 +u^11
A antiderivada disso é
integral (u^7 -2u^9 +u^11),du =u^88-2cdotu^1010+u^1212 =u^88-u^105+u^1212
Como os limites de integração em l[tfracu^88-tfracu^105+tfracu^1212r]0^0 =0-0=0 são ambos zero, temos

Resposta

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