a. integral0^4(x^2-4 x+4) d x >= 0

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra a gente olhar essa integral definida:
integral0^4l(x^2-4x+4r),dx >= 0
Isso é Cálculo I, especificamente integrais definidas e o Teorema Fundamental do Cálculo.
Pra resolver a gente vai precisar:
  1. Saber que, pra calcular integrala^b f(x),dx = F(b)-F(a) , a gente encontra uma antiderivada (ou primitiva) de .
  2. Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 2

Primeiro, vamos detalhar a teoria do Teorema Fundamental do Cálculo:
  • Se integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a) , então
É como “reverter” a derivada. A gente acha que, ao derivar, volta pra .

Passo 3

Agora, escolhemos F(x) = x^33 ;-; 2x^2 ;+; 4x e vamos achar uma antiderivada .
  • Pra :
  • Pra :
  • Pra :
    Somando tudo:

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo entre 0 e 4:
integral0^4(x^2 -4x +4),dx = F(4) - F(0)
Vamos calcular cada um:

Passo 5

Agora simplifica F(4) = 643 - 32 + 16 = 643 - 16 = 64 - 483 = 163 :
integral0^4(x^2 -4x +4),dx = 163
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E é claramente maior que zero, então a desigualdade é satisfeita.

Resposta

boxedintegral0^4(x^2 -4x +4),dx = 163 >= 0

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