Integre por partes a integral a abaixo para
para obter a relação de recorrência
(a) Calcule
, considerando
e faça todas as operações de aritmética no sistema de ponto flutuante
.
(b) Verifique que o erro absoluto na integral
, depende fatorialmente do erro inicial
pela relação
e estime o erro cometido em
no item anterior.
© Agora calcule
utilizando a recursão
assumindo, por exemplo,
. Obtenha a fórmula para propagação de erro nesse caso, e estime o erro cometido.
(d) Interprete seus resultados.
(b) Verifique que o erro absoluto na integral
© Agora calcule
(d) Interprete seus resultados.
Passo 1
Primeiro, resumimos que a questão pede integrar por partes a integral
para obter a relação de recorrência
. Vamos usar integração por partes e depois simular aritmética de ponto flutuante
.
Passo 2
Aplicamos integração por partes em
escolhendo
e
. Assim
Passo 3
Multiplicando por
obtemos a recorrência desejada
Passo 4
Para (a), simulamos em
, tomando
e arredondando cada resultado a 4 algarismos significativos:
“I_1 = 1 - 1\times0.6320 = 0.3680”
“I_2 = 1 - 2\times0.3680 = 0.2640”
“I_3 = 1 - 3\times0.2640 = 0.2080”
“I_4 = 1 - 4\times0.2080 = 0.1680”
“I_5 = 1 - 5\times0.1680 = 0.1600”
“I_6 = 1 - 6\times0.1600 = 0.04000”
“I_7 = 1 - 7\times0.04000 = 0.7200”
Portanto, em
.
“I_1 = 1 - 1\times0.6320 = 0.3680”
“I_2 = 1 - 2\times0.3680 = 0.2640”
“I_3 = 1 - 3\times0.2640 = 0.2080”
“I_4 = 1 - 4\times0.2080 = 0.1680”
“I_5 = 1 - 5\times0.1680 = 0.1600”
“I_6 = 1 - 6\times0.1600 = 0.04000”
“I_7 = 1 - 7\times0.04000 = 0.7200”
Portanto,
Passo 5
Para (b), chamando
a aproximação, temos
Iterando,
Iterando,
Passo 6
Como o valor exato
e tomamos
, temos
Logo
Logo
Passo 7
Para ©, invertemos a recorrência:
Passo 8
O erro satisfaz
Passo 9
e em k passos
Passo 10
Assumindo
, temos
(com
).
Para descer até são k=13 passos, e
Para descer até
Passo 11
Assim a aproximação retroativa é
Passo 12
Para (d), concluímos que a recorrência direta amplifica o erro fatorialmente (instável), enquanto a recorrência inversa diminui o erro de forma fatorial (estável).
Resposta
(a)
em
.
(b) , logo
.
© Na recursão inversa , resultando em
e
.
(d) A direção direta é numericamente instável (erro cresce), enquanto a inversa é estável (erro decai).
(b)
© Na recursão inversa
(d) A direção direta é numericamente instável (erro cresce), enquanto a inversa é estável (erro decai).