Integre por partes a integral a abaixo para
In=e^-1 integral0^1 x^n e^x d x
para obter a relação de recorrência
In=1-n In-1, n=1,2, ldots
(a) Calcule I7, considerando I0=0.632 e faça todas as operações de aritmética no sistema de ponto flutuante F(10,4, infty, infty).
(b) Verifique que o erro absoluto na integral In, De, depende fatorialmente do erro inicial De pela relação
De
e estime o erro cometido em I7 no item anterior.
© Agora calcule I7 utilizando a recursão In-1=1-Inn assumindo, por exemplo, I20=0. Obtenha a fórmula para propagação de erro nesse caso, e estime o erro cometido.
(d) Interprete seus resultados.

Passo 1

Primeiro, resumimos que a questão pede integrar por partes a integral In = e^-1integral0^1 x^n e^x ,dx para obter a relação de recorrência In = 1 - n,In-1. Vamos usar integração por partes e depois simular aritmética de ponto flutuante F(10,4).

Passo 2

Aplicamos integração por partes em integral0^1 x^n e^x ,dx escolhendo u = x^n e dv = e^x ,dx. Assim
integral0^1 x^n e^x ,dx = [x^n e^x]0^1 - nintegral0^1 x^n-1 e^x ,dx = e - nintegral0^1 x^n-1 e^x ,dx

Passo 3

Multiplicando por e^-1 obtemos a recorrência desejada
In = e^-1integral0^1 x^n e^x ,dx = 1 - n,In-1

Passo 4

Para (a), simulamos em F(10,4), tomando I0 = 0.6320 e arredondando cada resultado a 4 algarismos significativos:
“I_1 = 1 - 1\times0.6320 = 0.3680”
“I_2 = 1 - 2\times0.3680 = 0.2640”
“I_3 = 1 - 3\times0.2640 = 0.2080”
“I_4 = 1 - 4\times0.2080 = 0.1680”
“I_5 = 1 - 5\times0.1680 = 0.1600”
“I_6 = 1 - 6\times0.1600 = 0.04000”
“I_7 = 1 - 7\times0.04000 = 0.7200”
Portanto, I7approx0.7200 em F(10,4).

Passo 5

Para (b), chamando bar In a aproximação, temos
De
Iterando,
De

Passo 6

Como o valor exato I0 = 1 - e^-1 approx0.6321205588 e tomamos bar I0=0.6320, temos
De
Logo
De

Passo 7

Para ©, invertemos a recorrência:
In-1 = 1 - Inn

Passo 8

O erro satisfaz
De

Passo 9

e em k passos
De

Passo 10

Assumindo bar I20=0, temos De (com I20approx -6.9498times10^7).
Para descer até I7 são k=13 passos, e
De

Passo 11

Assim a aproximação retroativa é
bar I7 = I7 + De

Passo 12

Para (d), concluímos que a recorrência direta amplifica o erro fatorialmente (instável), enquanto a recorrência inversa diminui o erro de forma fatorial (estável).

Resposta

(a) I7approx0.7200 em F(10,4).
(b) De, logo De.
© Na recursão inversa De, resultando em De e bar I7approx0.112383504.
(d) A direção direta é numericamente instável (erro cresce), enquanto a inversa é estável (erro decai).

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