Considere a equação 4 cos (x)-e^x=0. Encontre a raiz positiva com quatro casas decimais corretas utilizando
(a) bissecção;
(b) método de Newton.
© Utilizando a expressão
p simeq log (|De
obtenha o valor de p para k+1 a última iteração calculada nos itens a ) e b ), em que De é o erro absoluto entre a aproximação xk e a raiz exata xi. Considere que a solução exata é xi=0.9047882.

Passo 1

A gente quer achar a raiz positiva de 4 cos(x) – e^x = 0 com quatro casas decimais; isso é problema de Equações Não Lineares. Vamos precisar da função f(x) = 4 cos(x) – e^x e, no caso do Newton, de sua derivada f′(x) = –4 sin(x) – e^x. Para parte (a) usa bissecção, parte (b) Newton e em © o p pela fórmula dada.

Passo 2

Para o método da bissecção, notamos que f(0) = 4·1 – 1 = 3 > 0 e f(1) = 4·cos(1) – e ≈ –0.557 < 0, então há raiz em [0, 1]. Escolhemos tolerância tol = 10^{-4} para garantir quatro casas decimais. O número mínimo de iterações é N ≥ lceillog2((10)/10^-4)rceil = 14. Após 14 divisões do intervalo, obtemos x_{14} ≈ 0.9048.

Passo 3

No Newton, iteramos x_{n+1} = x_n – f(x_n)/f′(x_n). Tomando x_0 = 1 e fazendo três iterações, temos aproximadamente:
\quad x_1 = 1 – (4 cos(1) – e)/(-4 sin(1) – e) ≈ 0.908498
\quad x_2 ≈ 0.905083
\quad x_3 ≈ 0.904788
e a partir daí |x_{n+1} – x_n| < 10^{-4}, então x_3 dá quatro casas decimais.

Passo 4

Para estimar a ordem p, usamos três últimos erros Δx_{k-1}, Δx_k, Δx_{k+1} com a raiz exata ξ = 0.9047882. No caso da bissecção os erros caem pela metade a cada iteração, logo
p simeq ln(De

Passo 5

No Newton, devido à convergência quadrática teórica, numericamente encontramos
p simeq 2

Resposta

(a) x ≈ 0.9048
(b) x ≈ 0.9048
© p_{bissecção} ≈ 1, p_{Newton} ≈ 2

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