Mostre que as seguintes equações possuem exatamente uma raiz e que em cada caso a raiz está no intervalo
.
(a)
(b)
.
Determine essas raízes, com duas casas decimais corretas, usando o método da bissecção. Antes de calcular, estime quantas iterações serão necessárias para obter o resultado.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que cada equação tem exatamente uma raiz em [0,5;1] e, em seguida, aproximá-las com duas casas decimais pelo método da bissecção, estimando antes o número de iterações necessárias.
Passo 2
Mostramos que cada função é contínua e estritamente crescente em [0,5;1], garantindo uma única raiz por Bolzano e monotonicidade:
Para f₁(x)=x²+ln x:
$$
f_{1}’(x)=2x+\frac{1}{x}>0$$
Para f₂(x)=x eˣ−1:
$$
f_{2}’(x)=e^{x}+x e{x}=e{x}(1+x)>0$$
Como em x=0,5 temos f₁(0,5)<0 e f₂(0,5)<0, e em x=1 temos f₁(1)>0 e f₂(1)>0, cada função muda de sinal e, por monotonicidade, existe exatamente uma raiz em [0,5;1].
Passo 3
Estimamos o número de iterações n usando a estimativa do erro do método da bissecção:
Aqui b−a=0,5, então 2ⁿ≥100 ⇒ n≥log₂(100)≈6,64, ou seja, escolhemos n=7.
Passo 4
Aplicamos 7 iterações da bissecção em f₁(x)=x²+ln x no intervalo [0,5;1]. O sinal de f₁ nos pontos médios leva ao intervalo final ≈[0,65234375;0,65625], cujo médio é x≈0,6543. Assim, com duas casas decimais, a raiz é 0,65.
Passo 5
Aplicamos 7 iterações da bissecção em f₂(x)=x eˣ−1 no mesmo intervalo. O processo culmina em [0,56640625;0,5703125], com médio x≈0,56836. Portanto, com duas casas decimais, a raiz é 0,57.
Resposta
As raízes, com duas casas decimais, são x≈0,65 para x²+ln x=0 e x≈0,57 para x eˣ−1=0.