Para um inteiro arbitrário a, verifique o que segue:
Se a é ímpar, então 32 mid(a^2+3)(a^2+7).

Passo 1

Resumo do enunciado: pra qualquer inteiro 32 ;m|; l(a^2+3r),l(a^2+7r) ímpar, temos de mostrar que
Conteúdo da matéria: divisibilidade e congruências (aritmética modular). Vamos usar que todo ímpar se escreve como e lembrar que o produto de dois inteiros consecutivos é sempre par.

Passo 2

Como a = 2k + 1 é ímpar, existe inteiro a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4,k(k+1) + 1 tal que
a^2 = 4cdot(2m) + 1 = 8m + 1,
Então
a^2 equiv 1 pmod8
Note que é par (produto de consecutivos), logo para algum . Isso dá
ou seja,

Passo 3

Agora avaliaremos cada fator mod 8 (e mod 4):
  1. 32 ;m|; (a^2+3)(a^2+7) .
    Isso mostra que .
  2. .
    Isso mostra que .
Então um fator é múltiplo de 8 e o outro é múltiplo de 4. Como , concluímos que

Resposta

Portanto, sempre que for ímpar, é múltiplo de 32.

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