Para um inteiro arbitrário , verifique o que segue:
Se é ímpar, então .
Passo 1
Resumo do enunciado: pra qualquer inteiro ímpar, temos de mostrar que
Conteúdo da matéria: divisibilidade e congruências (aritmética modular). Vamos usar que todo ímpar se escreve como e lembrar que o produto de dois inteiros consecutivos é sempre par.
Passo 2
Como a = 2k + 1 é ímpar, existe inteiro a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4,k(k+1) + 1 tal que
a^2 = 4cdot(2m) + 1 = 8m + 1,
Então
a^2 equiv 1 pmod8
Note que é par (produto de consecutivos), logo para algum . Isso dá
ou seja,
Passo 3
Agora avaliaremos cada fator mod 8 (e mod 4):
32 ;m|; (a^2+3)(a^2+7) .
Isso mostra que .
.
Isso mostra que .
Então um fator é múltiplo de 8 e o outro é múltiplo de 4. Como , concluímos que