Para um inteiro arbitrário a, verifique o que segue:
2 mid a(a+1) e 3 mid a(a+1)(a+2).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente mostrar duas coisas sobre um inteiro qualquer :
  1. Que .
  2. Que .
Conteúdo: teoria de divisibilidade e noções de classes de resto (módulo).
O que precisamos:
  • Definição de “ ”: existe um inteiro tal que .
  • Saber que entre dois inteiros consecutivos, um é par (divisível por 2).
  • Saber que, entre três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3 (classes mod 3).

Passo 2

Provar que a(a+1) = (2k)(a+1) = 2l(k(a+1)r), .
Teoria aplicada:
Um número é par se é da forma a+1 = 2k+2 = 2(k+1), . Entre dois números consecutivos a(a+1) = acdot 2(k+1) = 2l(a(k+1)r), e , pelo menos um deles é par. Ou seja, ou ou .
Detalhando:
  • Se é par, então para algum . Logo e aí já vimos que .
  • Se é ímpar, então . Nesse caso e de novo .
Em qualquer caso, mostramos que divide o produto.

Passo 3

Provar que a(a+1)(a+2) = (3k)(a+1)(a+2) = 3l(k(a+1)(a+2)r) .
Teoria aplicada:
Números inteiros, quando divididos por 3, só podem dar resto 0, 1 ou 2. Ou seja, a(a+1)(a+2) = a(a+1)cdot 3(k+1) = 3l(a(a+1)(k+1)r) ou a(a+1)(a+2) = acdot 3(k+1)cdot (a+2) = 3l(a(k+1)(a+2)r) . Em três consecutivos— , , —cobrem-se todas as classes mod 3, logo um deles é múltiplo de 3.
Detalhando as três possibilidades:
  1. Se , então . Pronto:
  2. Se , então . Aí , logo
  3. Se , então . Aí , logo
Em cada caso aparece um fator 3, então .

Resposta

Ficou provado que para todo inteiro :
  1. .
  2. .

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