Para um inteiro arbitrário
, verifique o que segue:
e
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente mostrar duas coisas sobre um inteiro qualquer
:
- Que
. - Que
.
Conteúdo: teoria de divisibilidade e noções de classes de resto (módulo).
O que precisamos:
O que precisamos:
- Definição de “
”: existe um inteiro tal que . - Saber que entre dois inteiros consecutivos, um é par (divisível por 2).
- Saber que, entre três inteiros consecutivos, um é múltiplo de 3 (classes mod 3).
Passo 2
Provar que
.
Teoria aplicada:
Um número é par se é da forma . Entre dois números consecutivos
e
, pelo menos um deles é par. Ou seja, ou
ou
.
Um número é par se é da forma
Detalhando:
- Se
é par, então para algum . Logo e aí já vimos que . - Se
é ímpar, então . Nesse caso e de novo .
Em qualquer caso, mostramos que
divide o produto.
Passo 3
Provar que
.
Teoria aplicada:
Números inteiros, quando divididos por 3, só podem dar resto 0, 1 ou 2. Ou seja, ou
. Em três consecutivos—
,
,
—cobrem-se todas as classes mod 3, logo um deles é múltiplo de 3.
Números inteiros, quando divididos por 3, só podem dar resto 0, 1 ou 2. Ou seja,
Detalhando as três possibilidades:
- Se
, então . Pronto: - Se
, então . Aí , logo - Se
, então . Aí , logo
Em cada caso aparece um fator 3, então
.
Resposta
Ficou provado que para todo inteiro
:
-
. -
.