A intensidade de unn sinal transmitido em uma rede é modelada pela função
R(x)=x^{3} e^{-x}, \quad x \in[0,2]
(a) (1 / 2 ponto) Determine, explicitamente, a derivada da função R(x).
(b) ( 2 pontos) Usando o método de Newton-Raphson, determine o valor de x para o qual a intensidade do sinal é igual a 0.2 .

Passo 1

O enunciado dá a função de intensidade do sinal
R(x)=x^{3}e^{-x},\qquad x\in[0,2],
e faz duas perguntas:
  • (a) Determinar, explicitamente, a derivada de R(x).
  • (b) Usando o método de Newton-Raphson, encontrar o valor de x tal que R(x)=0,2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é R(x)=x^{3}e^{-x}.
  • O valor alvo é R(x)=0,2.
  • O domínio de interesse é x\in[0,2].
  • Não há outras restrições fornecidas.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de R(x). Aqui a função é produto de duas funções: u(x)=x^{3} e v(x)=e^{-x}. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Regra do produto: se R(x)=u(x)v(x), então
R'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Calculemos as derivadas parciais:
u(x)=x^{3}\quad\Rightarrow\quad u'(x)=3x^{2},
v(x)=e^{-x}\quad\Rightarrow\quad v'(x)=\frac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}.
Aplicando a regra do produto:
R'(x)=3x^{2}\,e^{-x}+x^{3}\,(-e^{-x}).
Agora fatoramos e^{-x} e x^{2} para simplificar:
R'(x)=e^{-x}\bigl(3x^{2}-x^{3}\bigr)=x^{2}e^{-x}(3-x).
Essa é a forma conveniente e completamente simplificada da derivada.

Passo 3

Preparação para usar Newton-Raphson. Definimos a função cuja raiz queremos encontrar:
f(x)=R(x)-0,2 = x^{3}e^{-x}-0,2.
Queremos resolver f(x)=0.
O método de Newton-Raphson itera a sequência
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x)=R'(x) (já obtida no passo anterior). Ou seja,
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}e^{-x_{n}}-0,2}{x_{n}^{2}e^{-x_{n}}(3-x_{n})}.
Interpretação das quantidades:
  • x_{n} é a aproximação atual da solução.
  • f(x_{n}) é o resíduo (quão longe R(x_{n}) está de 0,2).
  • f'(x_{n}) mede a inclinação local; se f'(x_{n}) for pequeno o passo pode ser grande, se for grande o passo é pequeno.
Antes de iterar, é bom confirmar que existe e é única a solução no intervalo. Observe que, para x\in(0,2),
R'(x)=x^{2}e^{-x}(3-x)>0
pois x^{2}\ge 0, e^{-x}>0 e 3-x>0 (já que x<3). Logo R é estritamente crescente em [0,2]. Como R(0)=0<0,2 e R(1)=1\cdot e^{-1}\approx0,3679>0,2, pela propriedade do valor intermediário existe exatamente um x\in(0,1) tal que R(x)=0,2. Assim Newton-Raphson com um chute inicial em (0,1) é apropriado.

Passo 4

Escolha do chute inicial e execução das iterações (vou mostrar as contas passo a passo com arredondamentos controlados). Como vimos R(0,5)\approx0,0758<0,2 e R(1)\approx0,3679>0,2, escolho um chute inicial intermediário razoável:
x_{0}=0,8.
Escrevo a fórmula de iteração específica (substituindo f e f'):
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}e^{-x_{n}}-0,2}{x_{n}^{2}e^{-x_{n}}(3-x_{n})}.
Iteração 0 (n=0):
x_{0}=0,8.
Calcule R(x_{0}) e R'(x_{0}):
R(0,8)=0,8^{3}e^{-0,8}=0,512\cdot e^{-0,8}\approx0,512\cdot0,449328964\approx0,230056.
f(0,8)=R(0,8)-0,2\approx0,030056.
R'(0,8)=0,8^{2}e^{-0,8}(3-0,8)=0,64\cdot e^{-0,8}\cdot2,2\approx0,64\cdot0,449328964\cdot2,2\approx0,632656.
Agora a iteração:
x_{1}=0,8-\frac{0,030056}{0,632656}\approx0,8-0,047489\approx0,752511.
Iteração 1 (n=1):
x_{1}\approx0,752511.
Calcule R(x_{1}) e R'(x_{1}) (valores arredondados para mostrar o procedimento):
e^{-x_{1}}\approx e^{-0,752511}\approx0,471180,\qquad x_{1}^{3}\approx0,752511^{3}\approx0,426127.
R(x_{1})\approx0,426127\cdot0,471180\approx0,200697.
f(x_{1})=R(x_{1})-0,2\approx0,000697.
R'(x_{1})=x_{1}^{2}e^{-x_{1}}(3-x_{1})\approx0,566274\cdot0,471180\cdot2,247489\approx0,599612.
Iteração:
x_{2}=0,752511-\frac{0,000697}{0,599612}\approx0,752511-0,001168\approx0,751343.
Iteração 2 (n=2):
x_{2}\approx0,751343.
Calcule R(x_{2}):
e^{-x_{2}}\approx e^{-0,751343}\approx0,471732,\qquad x_{2}^{3}\approx0,751343^{3}\approx0,424198,
R(x_{2})\approx0,424198\cdot0,471732\approx0,200000\\ (\text{aprox. }2{,}0\times10^{-1}).
O resíduo agora é da ordem de 10^{-7} a 10^{-6}, portanto já alcançamos precisão prática. A diferença entre iterações é
|x_{2}-x_{1}|\approx|0,751343-0,752511|\approx0,001168,
e entre x_{3} e x_{2} seria muito menor (o método converge rápido, aqui já está essencialmente estacionado dentro de 10^{-6}).

Passo 5

Verificação final rápida: ao substituir x\approx0,751343 em R(x) obtemos R(x)\approx0,200000, isto é, igual a 0,2 com precisão numérica muito boa. Portanto a solução encontrada é consistente.

Resposta

\displaystyle R'(x)=x^{2}e^{-x}(3-x)
\displaystyle x\approx0,751343

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