A intensidade de unn sinal transmitido em uma rede é modelada pela função
(a)
ponto) Determine, explicitamente, a derivada da função
.
(b) ( 2 pontos) Usando o método de Newton-Raphson, determine o valor de
para o qual a intensidade do sinal é igual a 0.2 .
(b) ( 2 pontos) Usando o método de Newton-Raphson, determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá a função de intensidade do sinal
e faz duas perguntas:
- (a) Determinar, explicitamente, a derivada de
. - (b) Usando o método de Newton-Raphson, encontrar o valor de
tal que .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O valor alvo é
. - O domínio de interesse é
. - Não há outras restrições fornecidas.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de
. Aqui a função é produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto usamos a regra do produto:
Regra do produto: se
, então
Calculemos as derivadas parciais:
Aplicando a regra do produto:
Agora fatoramos
e
para simplificar:
Essa é a forma conveniente e completamente simplificada da derivada.
Passo 3
Preparação para usar Newton-Raphson. Definimos a função cuja raiz queremos encontrar:
Queremos resolver
.
O método de Newton-Raphson itera a sequência
onde
(já obtida no passo anterior). Ou seja,
Interpretação das quantidades:
-
é a aproximação atual da solução. -
é o resíduo (quão longe está de ). -
mede a inclinação local; se for pequeno o passo pode ser grande, se for grande o passo é pequeno.
Antes de iterar, é bom confirmar que existe e é única a solução no intervalo. Observe que, para
,
pois
,
e
(já que
). Logo
é estritamente crescente em
. Como
e
, pela propriedade do valor intermediário existe exatamente um
tal que
. Assim Newton-Raphson com um chute inicial em
é apropriado.
Passo 4
Escolha do chute inicial e execução das iterações (vou mostrar as contas passo a passo com arredondamentos controlados). Como vimos
e
, escolho um chute inicial intermediário razoável:
Escrevo a fórmula de iteração específica (substituindo
e
):
Iteração 0
:
Calcule
e
:
Agora a iteração:
Iteração 1
:
Calcule
e
(valores arredondados para mostrar o procedimento):
Iteração:
Iteração 2
:
Calcule
:
O resíduo agora é da ordem de
a
, portanto já alcançamos precisão prática. A diferença entre iterações é
e entre
e
seria muito menor (o método converge rápido, aqui já está essencialmente estacionado dentro de
).
Passo 5
Verificação final rápida: ao substituir
em
obtemos
, isto é, igual a
com precisão numérica muito boa. Portanto a solução encontrada é consistente.