Um reservatórı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [
pontos ] descrito por
Determine, utilizando o método da Posição Falsa com os critérios de parada indicados. o instante em que o reservatório atinge o nível crítico (isto é,
).
Passo 1
O enunciado dá a função nível do reservatório
e pede: determinar, usando o método da Posição Falsa (regula falsi) com os critérios de parada indicados, o instante em que o reservatório atinge o nível crítico, ou seja o valor de
tal que
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O intervalo inicial dado é
. - A pergunta: encontrar
tal que (o instante em que o nível é crítico).
Passo 2
Breve explicação do método da Posição Falsa (o porquê e a fórmula).
- O método busca uma raiz de uma função
num intervalo em que e têm sinais opostos. Ele aproxima a raiz por interseção da reta que liga os pontos e com o eixo . - Fórmula da Posição Falsa: dado
e com ,
- Interpretação:
é o comprimento do intervalo atual, é a diferença de valores da função nas extremidades, e a fração desloca até o ponto onde a reta secante cruza o eixo . - Atualização do intervalo: depois de calcular
calcula-se . Se então a nova extremidade passa a ser ; caso contrário (se ) a nova extremidade passa a ser . Assim mantemos um intervalo em que a raiz permanece. - Critérios de parada: o enunciado cita “os critérios de parada indicados” mas esses critérios não foram enviados aqui. Vou adotar critérios padrões e razoáveis para provas práticas:
- parar quando o erro absoluto entre aproximações sucessivas
, ou - parar quando
, - ou chegar a um máximo de
iterações (proteção).
Se você tiver critérios diferentes, diga depois, mas para seguir sem perguntar vou usar estes.
- parar quando o erro absoluto entre aproximações sucessivas
Passo 3
Preparação inicial: definimos
. Verificamos o sinal nas extremidades do intervalo fornecido (peguei os valores de
e
do enunciado).
- Calcular
:
- Calcular
:
Como
e
têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em
e o método da Posição Falsa pode ser aplicado com
e
.
Passo 4
Iteração 1 (usar
,
):
Aplicando a fórmula:
Avaliar
:
Como
e
, a nova dupla é
.
Passo 5
Iteração 2 (com
):
Calcular:
Avaliar:
Sinal com
e
indica novo intervalo
.
Passo 6
Iteração 3 (com
):
Calcular:
Avaliar:
Logo novo intervalo
.
Passo 7
Iteração 4 (com
):
Calcular:
Avaliar:
Novo intervalo
.
Passo 8
Iteração 5 (com
):
Calcular:
Avaliar:
Novo intervalo
.
Passo 9
Iteração 6 (com
):
Calcular:
Avaliar:
Novo intervalo
.
Passo 10
Iteração 7 (com
):
Calcular:
Avaliar:
Novo intervalo
.
Passo 11
Iteração 8 (com
):
Calcular:
Avaliar:
Diferença entre aproximações sucessivas:
, ainda maior que
, então continuamos.
Passo 12
Iteração 9 (com
):
Calcular:
Avaliar:
Agora
e
. Ambos os critérios de parada adotados são satisfeitos, portanto podemos parar aqui.
Comentário final curto: observe que a raiz verdadeira é
, então a aproximação acima está bem próxima (o método converge para esse valor). A Posição Falsa foi eficiente neste caso porque a função é monotônica e o intervalo inicial continha a raiz.