Um reservatórı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [ 2 \frac{1}{2} pontos ] descrito por
h(t)=e^{-t}-0.2, \quad t \in[1,3]
Determine, utilizando o método da Posição Falsa com os critérios de parada indicados. o instante em que o reservatório atinge o nível crítico (isto é, h(t)=0 ).

Passo 1

O enunciado dá a função nível do reservatório
h(t)=e^{-t}-0{,}2,\quad t\in[1,3],
e pede: determinar, usando o método da Posição Falsa (regula falsi) com os critérios de parada indicados, o instante em que o reservatório atinge o nível crítico, ou seja o valor de t tal que h(t)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é \;h(t)=e^{-t}-0{,}2\;.
  • O intervalo inicial dado é [1,3].
  • A pergunta: encontrar t tal que h(t)=0 (o instante em que o nível é crítico).

Passo 2

Breve explicação do método da Posição Falsa (o porquê e a fórmula).
  • O método busca uma raiz de uma função f(x) num intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) têm sinais opostos. Ele aproxima a raiz por interseção da reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x.
  • Fórmula da Posição Falsa: dado a e b com f(a)f(b)<0,
x_{\text{novo}} = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
  • Interpretação: \;b-a\; é o comprimento do intervalo atual, \;f(b)-f(a)\; é a diferença de valores da função nas extremidades, e a fração desloca b até o ponto onde a reta secante cruza o eixo x.
  • Atualização do intervalo: depois de calcular x_{\text{novo}} calcula-se f(x_{\text{novo}}). Se f(a)f(x_{\text{novo}})<0 então a nova extremidade b passa a ser x_{\text{novo}}; caso contrário (se f(x_{\text{novo}})f(b)<0) a nova extremidade a passa a ser x_{\text{novo}}. Assim mantemos um intervalo em que a raiz permanece.
  • Critérios de parada: o enunciado cita “os critérios de parada indicados” mas esses critérios não foram enviados aqui. Vou adotar critérios padrões e razoáveis para provas práticas:
    1. parar quando o erro absoluto entre aproximações sucessivas \;|x_{k}-x_{k-1}|<10^{-4}\;, ou
    2. parar quando \;|f(x_k)|<10^{-4}\;,
    3. ou chegar a um máximo de 100 iterações (proteção).
      Se você tiver critérios diferentes, diga depois, mas para seguir sem perguntar vou usar estes.

Passo 3

Preparação inicial: definimos f(t)=h(t)=e^{-t}-0{,}2. Verificamos o sinal nas extremidades do intervalo fornecido (peguei os valores de t=1 e t=3 do enunciado).
  • Calcular f(1):
f(1)=e^{-1}-0{,}2\approx 0{,}3678794412-0{,}2=0{,}1678794412>0.
  • Calcular f(3):
f(3)=e^{-3}-0{,}2\approx 0{,}0497870684-0{,}2=-0{,}1502129316<0.
Como f(1) e f(3) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em [1,3] e o método da Posição Falsa pode ser aplicado com a_0=1 e b_0=3.

Passo 4

Iteração 1 (usar a_0=1, b_0=3):
a=1,\quad b=3,\quad f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)=-0{,}1502129316.
Aplicando a fórmula:
t_1 = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)} =3 - (-0{,}1502129316)\frac{2}{-0{,}3180923728}\approx 2{,}055813.
Avaliar f(t_1):
f(2{,}055813)=e^{-2{,}055813}-0{,}2\approx -0{,}072042\\ (<0).
Como f(1)>0 e f(t_1)<0, a nova dupla é [a_1,b_1]=[1,2{,}055813].

Passo 5

Iteração 2 (com [a,b]=[1,2{,}055813]):
f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)\approx -0{,}072042.
Calcular:
t_2 = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)} \approx 2{,}055813 - (-0{,}072042)\frac{1{,}055813}{-0{,}2399214412}\approx 1{,}738504.
Avaliar:
f(1{,}738504)=e^{-1{,}738504}-0{,}2\approx -0{,}024345\\ (<0).
Sinal com f(a)>0 e f(t_2)<0 indica novo intervalo [a_2,b_2]=[1,1{,}738504].

Passo 6

Iteração 3 (com [a,b]=[1,1{,}738504]):
f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)\approx -0{,}024345.
Calcular:
t_3 \approx 1{,}738504 - (-0{,}024345)\frac{0{,}738504}{-0{,}1922244412}\approx 1{,}644987.
Avaliar:
f(1{,}644987)=e^{-1{,}644987}-0{,}2\approx -0{,}006992\\ (<0).
Logo novo intervalo [a_3,b_3]=[1,1{,}644987].

Passo 7

Iteração 4 (com [a,b]=[1,1{,}644987]):
f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)\approx -0{,}006992.
Calcular:
t_4 \approx 1{,}644987 - (-0{,}006992)\frac{0{,}644987}{-0{,}1748714412}\approx 1{,}619186.
Avaliar:
f(1{,}619186)=e^{-1{,}619186}-0{,}2\approx -0{,}001942\\ (<0).
Novo intervalo [a_4,b_4]=[1,1{,}619186].

Passo 8

Iteração 5 (com [a,b]=[1,1{,}619186]):
f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)\approx -0{,}001942.
Calcular:
t_5 \approx 1{,}619186 - (-0{,}001942)\frac{0{,}619186}{-0{,}1698214412}\approx 1{,}612107.
Avaliar:
f(1{,}612107)=e^{-1{,}612107}-0{,}2\approx -0{,}000533\\ (<0).
Novo intervalo [a_5,b_5]=[1,1{,}612107].

Passo 9

Iteração 6 (com [a,b]=[1,1{,}612107]):
f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)\approx -0{,}000533.
Calcular:
t_6 \approx 1{,}612107 - (-0{,}000533)\frac{0{,}612107}{-0{,}1684124412}\approx 1{,}610171.
Avaliar:
f(1{,}610171)=e^{-1{,}610171}-0{,}2\approx -0{,}000147\\ (<0).
Novo intervalo [a_6,b_6]=[1,1{,}610171].

Passo 10

Iteração 7 (com [a,b]=[1,1{,}610171]):
f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)\approx -0{,}000147.
Calcular:
t_7 \approx 1{,}610171 - (-0{,}000147)\frac{0{,}610171}{-0{,}1680264412}\approx 1{,}609638.
Avaliar:
f(1{,}609638)\approx -0{,}0000401\\ (<0).
Novo intervalo [a_7,b_7]=[1,1{,}609638].

Passo 11

Iteração 8 (com [a,b]=[1,1{,}609638]):
f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)\approx -0{,}0000401.
Calcular:
t_8 \approx 1{,}609638 - (-0{,}0000401)\frac{0{,}609638}{-0{,}1679194412}\approx 1{,}609492.
Avaliar:
f(1{,}609492)\approx -0{,}0000108\\ (<0).
Diferença entre aproximações sucessivas: |t_8-t_7|\approx 0{,}0001457, ainda maior que 10^{-4}, então continuamos.

Passo 12

Iteração 9 (com [a,b]=[1,1{,}609492]):
f(a)=0{,}1678794412,\quad f(b)\approx -0{,}0000108.
Calcular:
t_9 \approx 1{,}609492 - (-0{,}0000108)\frac{0{,}609492}{-0{,}1678904412}\approx 1{,}609453.
Avaliar:
f(1{,}609453)\approx -0{,}0000030.
Agora |t_9-t_8|\approx 3{,}9\times10^{-5}<10^{-4} e |f(t_9)|\approx 3{,}0\times10^{-6}<10^{-4}. Ambos os critérios de parada adotados são satisfeitos, portanto podemos parar aqui.
Comentário final curto: observe que a raiz verdadeira é \ln(5)\approx 1{,}6094379, então a aproximação acima está bem próxima (o método converge para esse valor). A Posição Falsa foi eficiente neste caso porque a função é monotônica e o intervalo inicial continha a raiz.

Resposta

t \approx 1{,}609453 (instante em que h(t)=0).

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