Mostre que a função
tem uma raiz no intervalo
. Usando o Método da Bisseção, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,01 . Qual o número mínimo de iterações necessárias para se obter a raiz com erro
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que a função
tem uma raiz no intervalo . - Usando o Método da Bisseção, encontrar uma aproximação da raiz com erro menor que
. - Determinar o número mínimo de iterações necessárias para obter a raiz com erro
.
Informações dadas e úteis:
- A função é
. - Intervalo inicial:
. - Valores a verificar:
e .
Nada mais será assumido.
Passo 2
Verificar a existência de uma raiz em
.
Razão: se uma função contínua assume sinais opostos nos extremos de um intervalo, então por um teorema fundamental (Teorema de Bolzano) ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Polinômios são contínuos em todo lugar, logo
é contínua.
Calcular os valores nas extremidades:
Como
e
, há mudança de sinal em
. Logo, por Bolzano, existe pelo menos uma raiz de
em
.
Passo 3
Explicar o Método da Bisseção e o critério de parada (cota de erro).
Ideia do método da bisseção:
- Tomamos o intervalo inicial
com . - Em cada iteração computamos o ponto médio
e avaliamos . - Substituímos o intervalo por
ou conforme o sinal de , mantendo sempre extremos com sinais opostos. - O procedimento reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração.
Cota de erro:
- Se o comprimento inicial do intervalo é
, depois de iterações o comprimento do intervalo atual é
- A aproximação que usamos é o ponto médio do intervalo final; o erro máximo (distância máxima entre essa média e a raiz real) é no pior caso metade do comprimento do intervalo final:
Portanto, para garantir erro
precisamos de
tal que
No nosso caso
.
Passo 4
Determinar o número mínimo de iterações para obter erro menor que
.
Queremos
. Isso equivale a
Tomando logaritmo na base 2:
Logo
Portanto o menor
inteiro que satisfaz é
. Assim, com 6 iterações o erro máximo garantido será
Passo 5
Executar as iterações da bisseção até garantir erro
. Vou listar cada iteração: ponto médio, valor de
no médio e o novo intervalo escolhido.
Iteração 1:
Como
e
, novo intervalo:
.
Iteração 2:
Sinais opostos em
e
tem sinal negativo, então novo intervalo:
.
Iteração 3:
Portanto novo intervalo:
.
Iteração 4:
Novo intervalo:
.
Iteração 5:
Novo intervalo:
.
Iteração 6:
Depois de 6 iterações o intervalo atual é
com comprimento
portanto o erro máximo na aproximação
é
Assim, uma aproximação da raiz com erro garantido menor que
é
.
Passo 6
Calcular o número mínimo de iterações para
.
Usando a mesma fórmula:
Tomando logaritmo base 2,
Logo
O menor inteiro que satisfaz é
. Portanto são necessárias, no mínimo, 13 iterações para garantir erro
.