Mostre que a função f(x)=x^{3}+4 x^{2}-10 tem uma raiz no intervalo [1,2]. Usando o Método da Bisseção, determine a raiz aproximada com erro menor do que 0,01 . Qual o número mínimo de iterações necessárias para se obter a raiz com erro \epsilon \leq 10^{-4} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que a função f(x)=x^{3}+4x^{2}-10 tem uma raiz no intervalo [1,2].
  • Usando o Método da Bisseção, encontrar uma aproximação da raiz com erro menor que 0,01.
  • Determinar o número mínimo de iterações necessárias para obter a raiz com erro \epsilon \le 10^{-4}.
Informações dadas e úteis:
  • A função é f(x)=x^{3}+4x^{2}-10.
  • Intervalo inicial: [a,b]=[1,2].
  • Valores a verificar: f(1) e f(2).
    Nada mais será assumido.

Passo 2

Verificar a existência de uma raiz em [1,2].
Razão: se uma função contínua assume sinais opostos nos extremos de um intervalo, então por um teorema fundamental (Teorema de Bolzano) ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Polinômios são contínuos em todo lugar, logo f é contínua.
Calcular os valores nas extremidades:
f(1)=1^{3}+4\cdot1^{2}-10=1+4-10=-5,
f(2)=2^{3}+4\cdot2^{2}-10=8+16-10=14.
Como f(1)=-5<0 e f(2)=14>0, há mudança de sinal em [1,2]. Logo, por Bolzano, existe pelo menos uma raiz de f em [1,2].

Passo 3

Explicar o Método da Bisseção e o critério de parada (cota de erro).
Ideia do método da bisseção:
  • Tomamos o intervalo inicial [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
  • Em cada iteração computamos o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2} e avaliamos f(m).
  • Substituímos o intervalo por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m), mantendo sempre extremos com sinais opostos.
  • O procedimento reduz o comprimento do intervalo pela metade a cada iteração.
Cota de erro:
  • Se o comprimento inicial do intervalo é L_0=b-a, depois de n iterações o comprimento do intervalo atual é
L_n=\frac{L_0}{2^{n}}.
  • A aproximação que usamos é o ponto médio do intervalo final; o erro máximo (distância máxima entre essa média e a raiz real) é no pior caso metade do comprimento do intervalo final:
\text{erro}_n \le \frac{L_n}{2} = \frac{L_0}{2^{\,n+1}}.
Portanto, para garantir erro \le \epsilon precisamos de n tal que
\frac{L_0}{2^{\,n+1}}\le \epsilon.
No nosso caso L_0=2-1=1.

Passo 4

Determinar o número mínimo de iterações para obter erro menor que 0,01.
Queremos \dfrac{1}{2^{\,n+1}}\le 0,01. Isso equivale a
2^{\,n+1}\ge 100.
Tomando logaritmo na base 2:
n+1 \ge \log_{2}(100)=\frac{\log_{10}(100)}{\log_{10}(2)}=\frac{2}{0,30103\ldots}\approx 6,643856\ldots
Logo
n \ge 5,643856\ldots
Portanto o menor n inteiro que satisfaz é n=6. Assim, com 6 iterações o erro máximo garantido será
\frac{1}{2^{6+1}}=\frac{1}{128}=0,0078125<0,01.

Passo 5

Executar as iterações da bisseção até garantir erro <0,01. Vou listar cada iteração: ponto médio, valor de f no médio e o novo intervalo escolhido.
Iteração 1:
m_{1}=\frac{1+2}{2}=1,5,\qquad f(1,5)=1{,}5^{3}+4\cdot1{,}5^{2}-10=2{,}375>0.
Como f(1)=-5<0 e f(1,5)>0, novo intervalo: [1,1,5].
Iteração 2:
m_{2}=\frac{1+1,5}{2}=1,25,\qquad f(1,25)=1{,}25^{3}+4\cdot1{,}25^{2}-10=-1{,}796875<0.
Sinais opostos em [1,25,\,1,5] e [1,25] tem sinal negativo, então novo intervalo: [1,25,\,1,5].
Iteração 3:
m_{3}=\frac{1,25+1,5}{2}=1,375,\qquad f(1,375)=0{,}162109375>0.
Portanto novo intervalo: [1,25,\,1,375].
Iteração 4:
m_{4}=\frac{1,25+1,375}{2}=1,3125,\qquad f(1,3125)=-0{,}848388671875<0.
Novo intervalo: [1,3125,\,1,375].
Iteração 5:
m_{5}=\frac{1,3125+1,375}{2}=1,34375,\qquad f(1,34375)=-0{,}34638916015625<0.
Novo intervalo: [1,34375,\,1,375].
Iteração 6:
m_{6}=\frac{1,34375+1,375}{2}=1,359375,\qquad f(1,359375)=-0{,}09378814697265625<0.
Depois de 6 iterações o intervalo atual é [1,359375,\,1,375] com comprimento
L_{6}=\frac{1}{2^{6}}=\frac{1}{64}=0,015625,
portanto o erro máximo na aproximação m_{6} é
\text{erro}_6\le \frac{L_{6}}{2}=\frac{1}{128}=0,0078125<0,01.
Assim, uma aproximação da raiz com erro garantido menor que 0,01 é x\approx 1,359375.

Passo 6

Calcular o número mínimo de iterações para \epsilon \le 10^{-4}.
Usando a mesma fórmula:
\frac{1}{2^{\,n+1}}\le 10^{-4}\quad\Longrightarrow\quad 2^{\,n+1}\ge 10^{4}.
Tomando logaritmo base 2,
n+1 \ge \log_{2}(10^{4})=\frac{\log_{10}(10^{4})}{\log_{10}(2)}=\frac{4}{0,30103\ldots}\approx 13,287712\ldots
Logo
n\ge 12,287712\ldots
O menor inteiro que satisfaz é n=13. Portanto são necessárias, no mínimo, 13 iterações para garantir erro \le 10^{-4}.

Resposta

x \approx 1,359375 \;(\text{erro} \le 0,0078125 < 0,01)\n
n_{\min}=13

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