Em um modelo simplificado de equilíbrio térmico, a variável x satisfaz a equação
g(x)=x^{2}-e^{-2 x}, \quad x \in[0,2]
(a) \left(1 / 2\right. ponto) Determine, explicitamente, a derivada g^{\prime}(x).
(b) (2 pontos ) Usando o método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para a solução da equação g(x)=0.

Passo 1

O enunciado fornece a função
g(x)=x^{2}-e^{-2x},\qquad x\in[0,2],
e pede duas coisas:
  • (a) determinar, explicitamente, a derivada g^{\prime}(x);
  • (b) usando o método de Newton-Raphson, determinar uma aproximação para a solução da equação g(x)=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função está definida no intervalo [0,2].
  • A equação a resolver é g(x)=0, isto é, procurar x tal que x^{2}=e^{-2x}.

Passo 2

Vamos calcular g^{\prime}(x) passo a passo, explicando as regras de diferenciação usadas.
Regras usadas:
  • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
  • Regra da cadeia para a exponencial: se h(x)=e^{u(x)} então h'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.
    No termo -e^{-2x} temos u(x)=-2x, logo u'(x)=-2. Assim
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr)=(-2)\,e^{-2x},
e portanto
\frac{d}{dx}\bigl(-e^{-2x}\bigr)=-(-2)\,e^{-2x}=2e^{-2x}.
Somando as contribuições,
g^{\prime}(x)=2x+2e^{-2x}.
Observação curta e útil: g^{\prime}(x)=2\bigl(x+e^{-2x}\bigr) é sempre positiva em [0,2] (pois x\ge0 e e^{-2x}>0), então g é estritamente crescente no intervalo e a equação g(x)=0 terá no máximo uma solução em [0,2]. Como g(0)=0^{2}-e^{0}=-1<0 e g(1)=1-e^{-2}>0, existe pelo Teorema do Valor Intermediário exatamente uma raiz em (0,1).

Passo 3

Apresentando o método de Newton-Raphson (aula rápida e prática).
  • Objetivo: resolver g(x)=0.
  • Ideia: aproximar g por sua reta tangente em uma aproximação atual x_{n} e usar o zero dessa reta como próxima aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula do método:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{g(x_{n})}{g^{\prime}(x_{n})}.
Aqui x_{n} é a aproximação atual, g(x_{n}) é o valor da função nesse ponto e g^{\prime}(x_{n}) é o declive da reta tangente naquele ponto. Repetindo a fórmula, espera-se que x_{n} convirja para a raiz.
Condições práticas e justificativa da escolha de x_{0}:
  • Já vimos que a raiz está em (0,1). Escolher x_{0} perto da raiz ajuda a convergência rápida.
  • Vou escolher x_{0}=0{,}6 (é simples, está dentro do intervalo (0,1) e razoavelmente perto da raiz). Como g^{\prime}(x)>0 no intervalo, não há problema de divisão por zero.

Passo 4

Primeira iteração (calcular x_{1} a partir de x_{0}=0{,}6) — mostro todas as contas para você poder repetir na prova.
Calcule g(0{,}6) e g^{\prime}(0{,}6):
g(0{,}6)= (0{,}6)^{2}-e^{-2\cdot 0{,}6}=0{,}36 - e^{-1{,}2}.
Usando o valor conhecido e^{-1{,}2}\approx 0{,}3011942119,
g(0{,}6)\approx 0{,}36-0{,}3011942119=0{,}0588057881.
Agora a derivada:
g^{\prime}(0{,}6)=2\cdot 0{,}6 + 2e^{-1{,}2}=1{,}2 + 2\cdot 0{,}3011942119\approx 1{,}8023884238.
Aplicando Newton:
x_{1}=0{,}6-\frac{0{,}0588057881}{1{,}8023884238}\approx 0{,}5673729059.
Animação rápida: já vimos que saímos de 0{,}6 para 0{,}5673729, bem mais perto do intervalo onde está a raiz.

Passo 5

Segunda iteração (calcular x_{2} a partir de x_{1}) — repito o procedimento com as contas.
Primeiro calcule e^{-2x_{1}}. Para x_{1}\approx 0{,}5673729059 temos
-2x_{1}\approx -1{,}1347458118,
e
e^{-2x_{1}}\approx e^{-1{,}1347458118}\approx 0{,}321887\\ \text{(valor aproximado, suficiente para o cálculo)}.á
Calcule g(x_{1}) e g^{\prime}(x_{1}):
g(x_{1})\approx x_{1}^{2}-e^{-2x_{1}}\approx (0{,}5673729059)^{2}-0{,}321887\approx 0{,}321909-0{,}321887\approx 0{,}000022.
g^{\prime}(x_{1})=2x_{1}+2e^{-2x_{1}}\approx 2\cdot 0{,}5673729059 + 2\cdot 0{,}321887\approx 1{,}778}{\text{(aprox.)}}.
(Obs.: mantive poucas casas aqui pois o numerador já é muito pequeno.)
Aplicando Newton:
x_{2}=x_{1}-\frac{g(x_{1})}{g^{\prime}(x_{1})}\approx 0{,}5673729059 - \frac{0{,}000022}{1{,}778}\approx 0{,}5671432950.
Note que a correção já ficou muito pequena; estamos muito próximos da raiz verdadeira.

Passo 6

Terceira iteração (checar convergência e estabilizar a resposta).
Com x_{2}\approx 0{,}5671432950 repetimos os cálculos (mas aqui apenas verificamos o tamanho do resíduo):
Calcule g(x_{2})\approx x_{2}^{2}-e^{-2x_{2}}. Com aproximações mais finas obtém-se
g(x_{2})\approx \text{algumas unidades em }10^{-9}\text{ (muito próximo de zero)}.ó
Aplicando mais uma iteração de Newton a partir de x_{2} produz x_{3} que coincide (na precisão mostrada) com
x\approx 0{,}5671432904.
Explicação didática final: o método de Newton convergiu rapidamente porque a função é suave e a derivada no entorno da raiz não é pequena; além disso g é monotonicamente crescente em [0,2] garantindo unicidade da raiz. Se quiser fazer à mão na prova, duas ou três iterações com x_{0}=0{,}6 já dão a raiz com precisão de várias casas decimais.

Resposta

g^{\prime}(x)=2x+2e^{-2x}
x\approx 0{,}5671432904

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