Em um modelo simplificado de equilíbrio térmico, a variável
satisfaz a equação
(a)
ponto) Determine, explicitamente, a derivada
.
(b)
pontos
Usando o método de Newton-Raphson, determine uma aproximação para a solução da equação
.
(b)
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede duas coisas:
- (a) determinar, explicitamente, a derivada
; - (b) usando o método de Newton-Raphson, determinar uma aproximação para a solução da equação
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função está definida no intervalo
. - A equação a resolver é
, isto é, procurar tal que .
Passo 2
Vamos calcular
passo a passo, explicando as regras de diferenciação usadas.
Regras usadas:
- Regra da potência:
. - Regra da cadeia para a exponencial: se
então .
No termotemos , logo . Assim
e portanto
Somando as contribuições,
Observação curta e útil:
é sempre positiva em
(pois
e
), então
é estritamente crescente no intervalo e a equação
terá no máximo uma solução em
. Como
e
, existe pelo Teorema do Valor Intermediário exatamente uma raiz em
.
Passo 3
Apresentando o método de Newton-Raphson (aula rápida e prática).
- Objetivo: resolver
. - Ideia: aproximar
por sua reta tangente em uma aproximação atual e usar o zero dessa reta como próxima aproximação . - Fórmula do método:
Aqui
é a aproximação atual,
é o valor da função nesse ponto e
é o declive da reta tangente naquele ponto. Repetindo a fórmula, espera-se que
convirja para a raiz.
Condições práticas e justificativa da escolha de
:
- Já vimos que a raiz está em
. Escolher perto da raiz ajuda a convergência rápida. - Vou escolher
(é simples, está dentro do intervalo e razoavelmente perto da raiz). Como no intervalo, não há problema de divisão por zero.
Passo 4
Primeira iteração (calcular
a partir de
) — mostro todas as contas para você poder repetir na prova.
Calcule
e
:
Usando o valor conhecido
,
Agora a derivada:
Aplicando Newton:
Animação rápida: já vimos que saímos de
para
, bem mais perto do intervalo onde está a raiz.
Passo 5
Segunda iteração (calcular
a partir de
) — repito o procedimento com as contas.
Primeiro calcule
. Para
temos
e
Calcule
e
:
(Obs.: mantive poucas casas aqui pois o numerador já é muito pequeno.)
Aplicando Newton:
Note que a correção já ficou muito pequena; estamos muito próximos da raiz verdadeira.
Passo 6
Terceira iteração (checar convergência e estabilizar a resposta).
Com
repetimos os cálculos (mas aqui apenas verificamos o tamanho do resíduo):
Calcule
. Com aproximações mais finas obtém-se
Aplicando mais uma iteração de Newton a partir de
produz
que coincide (na precisão mostrada) com
Explicação didática final: o método de Newton convergiu rapidamente porque a função é suave e a derivada no entorno da raiz não é pequena; além disso
é monotonicamente crescente em
garantindo unicidade da raiz. Se quiser fazer à mão na prova, duas ou três iterações com
já dão a raiz com precisão de várias casas decimais.