Interpolação (Lagrange, grau 2)
Dada a tabela
c|ccc x & 1 & 2 & 3 f(x) & 2 & 4 & 10
(a) Construa o polinômio de grau 2 por Lagrange.
(b) Calcule p(1,5).

Passo 1

Beleza, o exercício nos dá três pontos , e e pede duas coisas da matéria de Interpolação polinomial por Lagrange (grau 2):
  • (a) Construir o polinômio de grau 2 que passa por esses pontos.
  • (b) Calcular (ou seja, ).
    Para resolver vamos precisar entender a fórmula geral do polinômio de Lagrange e como montar os “polinômios base” , e .

Passo 2

A fórmula geral do polinômio de Lagrange é
p(x) ;=; sumi=0^2 f(xi),Li(x),
onde, para cada Li(x) ;=;prodsubstackj=0 jneq i^2 x - xjxi - xj ,
No nosso caso, , , . Agora vamos achar cada .

Passo 3

Calcular os polinômios base:
  1. Para L0(x) =(x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) =(x - 2)(x - 3)(1 - 2)(1 - 3) =(x - 2)(x - 3)(-1)(-2) =(x - 2)(x - 3)2 ( L1(x) =(x - x0)(x - x2)(2 - 1)(2 - 3) =(x - 1)(x - 3)(1)(-1) =-,(x - 1)(x - 3) ):
L2(x) =(x - x0)(x - x1)(3 - 1)(3 - 2) =(x - 1)(x - 2)(2)(1) =(x - 1)(x - 2)2
  1. Para ( ):
  1. Para ( ):

Passo 4

Agora montamos
p(x) =2,L0(x);+;4,L1(x);+;10,L2(x)
Substituindo cada p(x) =2cdot(x - 2)(x - 3)2 ;+;4l[-(x - 1)(x - 3)r] ;+;10cdot(x - 1)(x - 2)2 :
p(x) =(x - 2)(x - 3) -4,(x - 1)(x - 3) +5,(x - 1)(x - 2)
Simplificando fatores:
p(x)=2x^2-4x+4
Se você expandir tudo e somar, chega em

Passo 5

Basta agora calcular p(1,5) =2,(1,5)^2 ;-;4,(1,5);+;4 =2cdot2,25 -6 +4 =4,5 -6 +4 =2,5 :

Resposta

(a)
(b)

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