Interpolação (Newton, grau 3)
Considere os quatro pontos
(1,2), (3,5), (4,10), (6,15)
(a) Construa o polinômio de grau 3 pela Forma de Newton (diferenças divididas).
(b) Avalie p(5).

Passo 1

Beleza, a questão diz que a gente tem quatro pontos
(1,2),;(3,5),;(4,10),;(6,15)
e pede duas coisas:
a) construir o polinômio de grau 3 na Forma de Newton, usando diferenças divididas;
b) avaliar esse polinômio em p(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+dots .
Conteúdo: Interpolação polinomial pelo método de Newton (diferenças divididas).
Vamos precisar montar a tabela de diferenças divididas e aí escrever o polinômio na forma
e por fim colocar .

Passo 2

Vamos montar a tabela de diferenças divididas. Num quadro simplificado:
x₀=1, f₀=2
x₁=3, f₁=5
x₂=4, f₂=10
x₃=6, f₃=15
Diferenças de 1ª ordem:
f[x0,x1]=5-23-1=32, f[x1,x2]=10-54-3=5, f[x2,x3]=15-106-4=52
Diferenças de 2ª ordem:
f[x0,x1,x2] =5-tfrac324-1 =tfrac723 =76, f[x1,x2,x3] =tfrac52-56-3 =-tfrac523 =-56
Diferença de 3ª ordem:
f[x0,x1,x2,x3] =-tfrac56-tfrac766-1 =-tfrac1265 =-25

Passo 3

Agora escrevemos o polinômio de Newton:
p(x) = f[x0] +f[x0,x1],(x-1) +f[x0,x1,x2],(x-1)(x-3) +f[x0,x1,x2,x3],(x-1)(x-3)(x-4)
Substituindo os valores:
p(x) =2 +32(x-1) +76(x-1)(x-3) -25(x-1)(x-3)(x-4)

Passo 4

Só falta avaliar em 2+6+283-165 =3015+9015+14015-4815 =21215 . Vamos calcular termo a termo:
  1. 2
Somando tudo (usar denominador 15, por exemplo):

Resposta

a)
p(x)=2 +32(x-1) +76(x-1)(x-3) -25(x-1)(x-3)(x-4)
b)
p(5)=21215approx14,1333ldots

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