Interpolação (Lagrange, grau 2)
Dado o conjunto de pontos
(-1,4), (0,1), (2,-1),
construa explicitamente o polinômio interpolador de grau 2 usando a Fórmula de Lagrange. Simplifique o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar um polinômio de grau 2 que passe pelos pontos (–1, 4), (0, 1) e (2, –1) usando interpolação de Lagrange.
Conteúdo: polinômio interpolador de Lagrange (grau 2).
O que precisamos:
  1. Entender a fórmula geral do interpolador de Lagrange.
  2. Montar os polinômios base .
  3. Combinar com as “alturas” e simplificar tudo.

Passo 2

Fórmula geral (para 3 pontos, grau 2):
P(x)=sumi=0^2 yi,Li(x),
onde cada
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj
Aqui temos
L0(x) =(x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) =(x-0)(x-2)(-1-0)(-1-2) =x(x-2)(-1)(-3) =x(x-2)3 , L1(x) =(x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) =(x+1)(x-2)(0+1)(0-2) =(x+1)(x-2)1cdot(-2) =-(x+1)(x-2)2 , L2(x) =(x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) =(x+1)(x-0)(2+1)(2-0) =x(x+1)3cdot2 =x(x+1)6 .
Vamos achar cada :
  1. Para (o ponto ):
  1. Para (o ponto ):
  1. Para (o ponto ):

Passo 3

Agora montamos
P(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+y2L2(x) =4cdotx(x-2)3 +1cdotl(-(x+1)(x-2)2r) +(-1)cdotx(x+1)6
Vamos expandir cada parte:

Passo 4

Agora soma tudo termo a termo:
Coeficiente de 43-12-16 =8-3-16 =46 =23 :
-83+12-16 =-16+3-16 =-146 =-73
Coeficiente de 0+1+0=1 :
Termo constante:

Resposta

boxedP(x)=23x^2-73x+1

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