Interpolação de Newton por Diferenças Divididas (grau 3). Considere a função f(x)=\ln (x) e os pontos de amostragem não uniformes:
x_{i} x_{0} x_{1} x_{2} x_{3}
x 1.20 1.35 1.65 1.80
f(x) 0.1823 0.3001 0.5008 0.5878
(a) Construa a tabela de diferenças divididas usando os valores da tabela.
(b) Estime p(1.75) usando o interpolador de Newton.

Passo 1

O enunciado pede a interpolação de grau 3 pelo método de Newton com diferenças divididas para a função \ln(x) nos pontos
x_0=1,20,\\ f(x_0)=0,1823;\quad x_1=1,35,\\ f(x_1)=0,3001;\quad x_2=1,65,\\ f(x_2)=0,5008;\quad x_3=1,80,\\ f(x_3)=0,5878.
Vamos montar a tabela de diferenças divididas e depois construir o polinômio de Newton para estimar p(1,75).

Passo 2

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{0,3001-0,1823}{1,35-1,20} =\frac{0,1178}{0,15}=0,7853,
f[x_1,x_2]=\frac{0,5008-0,3001}{1,65-1,35} =\frac{0,2007}{0,30}=0,6690,
f[x_2,x_3]=\frac{0,5878-0,5008}{1,80-1,65} =\frac{0,0870}{0,15}=0,5800.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{0,6690-0,7853}{1,65-1,20} =\frac{-0,1163}{0,45}=-0,2585,
f[x_1,x_2,x_3] =\frac{0,5800-0,6690}{1,80-1,35} =\frac{-0,0890}{0,45}=-0,1978.

Passo 4

Calcular a diferença dividida de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3] =\frac{-0,1978-(-0,2585)}{1,80-1,20} =\frac{0,0607}{0,60}=0,1012.

Passo 5

A tabela de diferenças divididas fica assim:
\begin{array}{c|c|c|c|c} x_i & f[x_i] & f[x_i,x_{i+1}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] & f[x_i,x_{i+1},x_{i+2},x_{i+3}]\\hline 1,20 & 0,1823 & 0,7853 & -0,2585 & 0,1012\\\\ 1,35 & 0,3001 & 0,6690 & -0,1978 & \\\\ 1,65 & 0,5008 & 0,5800 & & \\\\ 1,80 & 0,5878 & & & \end{array}
O polinômio de Newton é
p(x)=0,1823 +0,7853\,(x-1,20) -0,2585\,(x-1,20)(x-1,35) +0,1012\,(x-1,20)(x-1,35)(x-1,65).

Passo 6

Avaliar em x=1,75:
T_1=0,7853\,(1,75-1,20)=0,7853\cdot0,55=0,4319,
T_2=-0,2585\,(0,55)(0,40)=-0,2585\cdot0,22=-0,0569,
T_3=0,1012\,(0,55)(0,40)(0,10)=0,1012\cdot0,022=0,0022.
Somando:
p(1,75)=0,1823+0,4319-0,0569+0,0022=0,5596.

Resposta

p(1,75)\approx0,5596

Exercícios relacionados