Quais dos seguintes problemas é bem posto? Motive a sua resposta.
- Contar o numero de personas numa sala especificada no horario 10:00:00 num dia qualquer.
- Computar o valor de
para um dado
.
- Avaliar
em [-0.2, 0.2].
- Avaliar
em
.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro tarefas e pede para identificar quais são problemas bem postos segundo a definição de Hadamard, isto é, problemas que satisfazem simultaneamente:
- Existence: existe solução para todo dado de entrada.
- Uniqueness: essa solução é única.
- Stability: a solução depende de modo contínuo (ou seja, pequenas variações nos dados de entrada produzem pequenas variações na saída).
Passo 2
Problema: “Contar o número de pessoas numa sala especificada no horário 10:00:00 num dia qualquer.”
– Existência e unicidade: se o dia não é especificado, não há dado de entrada bem definido, então não faz sentido falar em existência ou unicidade de resultado.
– Estabilidade: impossível avaliar variação de dados se nem sabemos qual dia usar.
Portanto este problema não é bem posto por falta de especificação do dia.
– Existência e unicidade: se o dia não é especificado, não há dado de entrada bem definido, então não faz sentido falar em existência ou unicidade de resultado.
– Estabilidade: impossível avaliar variação de dados se nem sabemos qual dia usar.
Portanto este problema não é bem posto por falta de especificação do dia.
Passo 3
Problema: “Computar o valor de
para um dado
.”
– Para cada em
a expressão
existe e é única (coseno é função bem definida).
– A função é contínua em
, logo variações pequenas em
provocam variações pequenas em
.
Este problema satisfaz existência, unicidade e estabilidade, logo é bem posto.
– Para cada
– A função
Este problema satisfaz existência, unicidade e estabilidade, logo é bem posto.
Passo 4
Problemas: “Avaliar
em
” e “Avaliar
em
”.
– Em ambos os casos, para cada no respectivo intervalo a quantidade
existe e é única.
– A função é contínua em qualquer intervalo fechado, garantindo estabilidade.
– A única diferença é que em o coeficiente de Lipschitz local (derivada
) pode ser grande, tornando o problema numericamente mal condicionado, mas a definição de bem posto não exige bom condicionamento, apenas continuidade.
Logo ambos os problemas são bem postos.
– Em ambos os casos, para cada
– A função
– A única diferença é que em
Logo ambos os problemas são bem postos.
Resposta
Os problemas bem postos são:
– Computar o valor de para um dado
.
– Avaliar em
.
– Avaliar em
.
– Computar o valor de
– Avaliar
– Avaliar