Quais dos seguintes problemas é bem posto? Motive a sua resposta.
  • Contar o numero de personas numa sala especificada no horario 10:00:00 num dia qualquer.
  • Computar o valor de \cos (x)+1 para um dado x \in \mathbb{R}.
  • Avaliar x^{2} em [-0.2, 0.2].
  • Avaliar x^{2} em \left[-10^{5}, 10^{5}\right].

Passo 1

O enunciado apresenta quatro tarefas e pede para identificar quais são problemas bem postos segundo a definição de Hadamard, isto é, problemas que satisfazem simultaneamente:
  1. Existence: existe solução para todo dado de entrada.
  2. Uniqueness: essa solução é única.
  3. Stability: a solução depende de modo contínuo (ou seja, pequenas variações nos dados de entrada produzem pequenas variações na saída).

Passo 2

Problema: “Contar o número de pessoas numa sala especificada no horário 10:00:00 num dia qualquer.”
– Existência e unicidade: se o dia não é especificado, não há dado de entrada bem definido, então não faz sentido falar em existência ou unicidade de resultado.
– Estabilidade: impossível avaliar variação de dados se nem sabemos qual dia usar.
Portanto este problema não é bem posto por falta de especificação do dia.

Passo 3

Problema: “Computar o valor de \cos(x)+1 para um dado x\in\mathbb{R}.”
– Para cada x em \mathbb{R} a expressão \cos(x)+1 existe e é única (coseno é função bem definida).
– A função f(x)=\cos(x)+1 é contínua em \mathbb{R}, logo variações pequenas em x provocam variações pequenas em f(x).
Este problema satisfaz existência, unicidade e estabilidade, logo é bem posto.

Passo 4

Problemas: “Avaliar x^2 em [-0.2,0.2]” e “Avaliar x^2 em \bigl[-10^{5},10^{5}\bigr]”.
– Em ambos os casos, para cada x no respectivo intervalo a quantidade x^2 existe e é única.
– A função g(x)=x^2 é contínua em qualquer intervalo fechado, garantindo estabilidade.
– A única diferença é que em \bigl[-10^{5},10^{5}\bigr] o coeficiente de Lipschitz local (derivada 2x) pode ser grande, tornando o problema numericamente mal condicionado, mas a definição de bem posto não exige bom condicionamento, apenas continuidade.
Logo ambos os problemas são bem postos.

Resposta

Os problemas bem postos são:
– Computar o valor de \cos(x)+1 para um dado x\in\mathbb{R}.
– Avaliar x^{2} em [-0.2,0.2].
– Avaliar x^{2} em \bigl[-10^{5},10^{5}\bigr].

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