Interpolação de Lagrange (grau 3). Considere a função f(x)=\sqrt[3]{x} e os pontos:
x_{i} x_{0} x_{1} x_{2} x_{3}
x 8.00 8.50 9.00 10
g(x) 2 2.0408 2.0801 2.1544
Estime p(9.75) usando o interpolador de Lagrange

Passo 1

Temos a função f(x)=\sqrt[3]{x} e os pontos
(x_0,f(x_0))=(8,2),\quad (x_1,f(x_1))=(8{,}5,2{,}0408),\quad (x_2,f(x_2))=(9,2{,}0801),\quad (x_3,f(x_3))=(10,2{,}1544).
O objetivo é estimar p(9{,}75) usando o interpolador de Lagrange de grau 3.

Passo 2

O polinômio de Lagrange de grau 3 é
p(x)=\sum_{i=0}^{3}f(x_i)\,L_i(x),
onde
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0 \\\ j\neq i}}^{3}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}.

Passo 3

Calculamos L_i(9{,}75) para cada i:
L_0(9{,}75) =\frac{9{,}75-8{,}5}{8-8{,}5}\, \frac{9{,}75-9}{8-9}\, \frac{9{,}75-10}{8-10} =0{,}234375,
L_1(9{,}75) =\frac{9{,}75-8}{8{,}5-8}\, \frac{9{,}75-9}{8{,}5-9}\, \frac{9{,}75-10}{8{,}5-10} =-0{,}875,
L_2(9{,}75) =\frac{9{,}75-8}{9-8}\, \frac{9{,}75-8{,}5}{9-8{,}5}\, \frac{9{,}75-10}{9-10} =1{,}09375,
L_3(9{,}75) =\frac{9{,}75-8}{10-8}\, \frac{9{,}75-8{,}5}{10-8{,}5}\, \frac{9{,}75-9}{10-9} =0{,}546875.

Passo 4

Substituindo em p(9{,}75)=\sum_{i=0}^3 f(x_i)\,L_i(9{,}75):
p(9{,}75) =2\cdot0{,}234375 +2{,}0408\cdot(-0{,}875) +2{,}0801\cdot1{,}09375 +2{,}1544\cdot0{,}546875 \approx2{,}13635.

Resposta

p(9{,}75)\approx2{,}13635

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